Étude comparée des deux types d'effilement

Brelot, Marcel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 15 (1965) no. 1, pp. 155-168.

On reprend une notion générale d’“effilement interne” de l’auteur relative à un cône convexe de fonctions réelles s.c.i. dans un espace $\Omega$, correspondant comme dans le cas classique à la topologie la moins fine (mais plus fine que celle de $\Omega$) rendant les fonctions considérées continues. On considère d’autre part comme Gowrisankaran (ces Annales, tome 13) un cône de fonctions $\ge 0$ finies et un cône convexe de fonctions $\ge 0$, satisfaisant à deux axiomes (sans topologie). On introduit les fonctions minimales du premier cône et la notion d’effilement minimal abstrait correspondant à l’une $h\not\equiv 0$ de ces fonctions, ou à la classe $\overline{h}$ des fonctions proportionnelles à $h$, ce qui généralise l’effilement de L. Naïm et introduit la “frontière minimale abstraite” $\left\{\overline{h}\right\}$.

Ces notions qui sont fondamentales en théorie du potentiel pour un choix convenable des familles de fonctions, sont comparées dans le cas classique et dans une axiomatique de l’auteur, de deux manières : l’une interprète le deuxième effilement dans la première théorie ; l’autre considère un ensemble d’un domaine partiel $\omega$ de $\Omega$ et compare son effilement interne possible dans $\Omega$ en des points de $\partial \omega$ et son effilement minimal possible en des points de la frontière minimale de $\omega$. On trouve une propriété d’implication mais seulement statistique en général ; et cela grâce à une étude préliminaire d’ensembles effilés p.p. en un sens convenable aux points d’un autre ensemble soit dans la première théorie soit dans la deuxième, à la frontière minimale, en se plaçant dans la théorie classique ou axiomatique du potentiel.

[1] H. Bauer, Axiomatische Behandlung des Dirichletschen Problems für elliptische und parabolische Differentialgleichungen, Math. Annalen, 146 (1962), 1-59. | MR | Zbl

[2] H. Bauer, Weiterführung einer axiomatischen Potentialtheorie ohne Kern Wahrscheinlichkeitstheorie, 1 (1963), 197-229. | MR | Zbl

[3] M. Brelot, Points irréguliers et transformations continues en théorie du potentiel, J. de Math., 19 (1940), 319-337. | JFM | Numdam | MR | Zbl

[4] M. Brelot, Axiomatique des fonctions harmoniques et surharmoniques dans un espace localement compact, Sem. de théorie du potentiel, 2 (1958), Paris. | Numdam

[5] M. Brelot, Lectures on potentiel theory, Collection du Tata Institute, Bombay, No. 19 (1960). | MR | Zbl

[6] M. Brelot, Introduction axiomatique de l'effilement, Annali di Matematica (Serie IV) 57 (1962), 77-96. | MR | Zbl

[7] M. Brelot, Quelques propriétés et applications nouvelles de l'effilement, Sem. théorie du potentiel, VI fasc. 1 (1961-1962), 1-27 à 1-40. | Numdam | Zbl

[8] J. L. Doob, A non probabilistic proof of the relative Fatou theorem, Annales Inst. Fourier, 9 (1959), 293-300. | Numdam | MR | Zbl

[9] K. Gowrisankaran, Extreme harmonic functions and boundary value problems, Annales Inst. Fourier, 13, fasc. 2 (1963), 307-358. | Numdam | MR | Zbl

[10] Mme R. M. Hervé, Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel, Annales Inst. Fourier, 12 (1962), 415-571. | Numdam | MR | Zbl

[11] Mme Lelong, Etude au voisinage de la frontière des fonctions surharmoniques positives dans un demi-espace, Annales E.N.S., 66 (1949), 125-159. | Numdam | Zbl

[12] L. Naïm (Mme Lumer), Sur le rôle de la frontière de R. S. Martin dans la théorie du potentiel, Annales Inst. Fourier, 7 (1957), 183-285. | Numdam | MR | Zbl