Fixed points of discrete nilpotent group actions on $S^2$

Druck, Suely; Fang, Fuquan; Firmo, Sebastião

doi:10.5802/aif.1912

Fixed points of discrete nilpotent group actions on

S^{2}

[Points fixes d’actions des groupes nilpotents discrets sur

S^{2}

]

Druck, Suely ; Fang, Fuquan ¹ ; Firmo, Sebastião ²

¹ Universidade Federal Fluminense, Instituto de Matematica, Rua Mário Santos Braga s/n, Valonguinho, 24020-140 Niterói RJ (Brésil)
² Nankai Institute of Mathematics, Tianjin 300071 (Rép. Pop. Chine) et Universidade Federal Fluminense, Instituto de Matematica, Rua Mário Santos Braga s/n, Valonguinho, 24020-140 Niterói RJ (Brésil)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 4, pp. 1075-1091.

Résumé
Abstract

On démontre que pour chaque entier $k \geq 2$ il existe un voisinage ouvert $𝒱_{k}$ de l’application identité de la 2-sphère, pour la $C^{1}$ topologie, tel que : si $G \subset {Diff}^{1} (S^{2})$ est un sous-groupe nilpotent à longueur de nilpotence $k$ , engendré par une famille quelconque d’éléments de $𝒱_{k}$ , alors l’action naturelle de $G$ sur $S^{2}$ a un point fixe. De plus, en présence d’une orbite finie cette action a au moins deux points fixes.

We prove that for each integer $k \geq 2$ there is an open neighborhood $𝒱_{k}$ of the identity map of the 2-sphere $S^{2}$ , in $C^{1}$ topology such that: if $G$ is a nilpotent subgroup of ${Diff}^{1} (S^{2})$ with length $k$ of nilpotency, generated by elements in $𝒱_{k}$ , then the natural $G$ -action on $S^{2}$ has nonempty fixed point set. Moreover, the $G$ -action has at least two fixed points if the action has a finite nontrivial orbit.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1912

Classification : 37B05, 37C25, 37C85
Keywords: group action, nilpotent group, fixed point
Mot clés : action de groupe, groupe nilpotent, point fixe

Affiliations des auteurs :

Druck, Suely ; Fang, Fuquan ¹ ; Firmo, Sebastião ²

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Druck, Suely; Fang, Fuquan; Firmo, Sebastião. Fixed points of discrete nilpotent group actions on $S^2$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 4, pp. 1075-1091. doi : 10.5802/aif.1912. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1912/

Bibliographie
Cité par

[1] C. Bonatti Un point fixe commun pour des difféomorphismes commutants de $S^{2}$ , Annals of Math., Volume 129 (1989), pp. 61-69 | DOI | MR | Zbl

[2] C. Bonatti Difféomorphismes commutants des surfaces et stabilité des fibrations en tores, Topology, Volume 29 (1989) no. 1, pp. 101-126 | DOI | MR | Zbl

[3] C. Camacho; A. Lins Neto Geometric Theory of Foliations, Birkhäuser, Boston, 1985 | MR | Zbl

[4] S. Druck; F. Fang; S. Firmo Fixed points of discrete nilpotent groups actions on surfaces (In preparation)

[5] D.B.A. Epstein; W.P. Thurston Transformations groups and natural bundles, Proc. London Math. Soc., Volume 38 (1979), pp. 219-236 | DOI | MR | Zbl

[6] E. Ghys Sur les groupes engendrés par des difféomorphismes proche de l'identité, Bol. Soc. Bras. Mat., Volume 24 (1993) no. 2, pp. 137-178 | DOI | MR | Zbl

[7] C. Godbillon Feuilletages - Études géométriques, Birkhäuser, 1991 | MR | Zbl

[8] M. Handel Commuting homeomorphisms of $S^{2}$ , Topology, Volume 31 (1992), pp. 293-303 | DOI | MR | Zbl

[9] E. Lima Commuting vector fields on 2-manifolds, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 69 (1963), pp. 366-368 | DOI | MR | Zbl

[10] E. Lima Commuting vector fields on $S^{2}$ , Proc. Amer. Math. Soc., Volume 15 (1964), pp. 138-141 | MR | Zbl

[11] E. Lima Common singularities of commuting vector fields on 2-manifolds, Comment. Math. Helv., Volume 39 (1964), pp. 97-110 | DOI | EuDML | MR | Zbl

[12] J.F. Plante Fixed points of Lie group actions on surfaces, Ergod. Th \& Dynam. Sys., Volume 6 (1986), pp. 149-161 | MR | Zbl

[13] H. Poincaré Sur les courbes définis par une équation différentielle, J. Math. Pures Appl., Volume 4 (1885) no. 1, pp. 167-244 | EuDML | JFM | Numdam

[14] M. Raghunathan Discrete subgroups of Lie groups, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1972 | MR | Zbl

[15] J. Rotman An introduction to the theory of groups, Springer-Verlag, 1995 | MR | Zbl

Cité par Sources :