$p$-adic Abelian Stark conjectures at $s=1$

Solomon, David

doi:10.5802/aif.1891

p

-adic Abelian Stark conjectures at

s = 1

[Conjectures de Stark

p

-adiques abéliennes en

s = 1

]

Solomon, David ¹

¹ King's College London, Department of Mathematics, Strand, London WC2R 2LS (Royaume-Uni)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 2, pp. 379-417.

Résumé
Abstract

Une version $p$ -adique de la conjecture de Stark en $s = 1$ est attribuée à J.-P. Serre et énoncée (de manière fautive) dans le livre de Tate sur cette conjecture. Dans le cas d’un corps de rayon réel sur un corps de nombres totalement réel, on présente ici une nouvelle conjecture de ce type, suivant plutôt la démarche de notre article précédent (et le travail de Rubin) sur la conjecture complexe abélienne. On étudie la cohérence de cette conjecture et on énonce des raffinements ‘sur $ℤ$ ’, soit d’elle seule, soit en combinaison avec son analogue complexe. Enfin, la version ‘Weak Refined Combined’ fait l’objet d’une discussion plus détaillée et d’une démonstration dans deux cas particuliers.

A $p$ -adic version of Stark’s Conjecture at $s = 1$ is attributed to J.-P. Serre and stated (faultily) in Tate’s book on the Conjecture. Building instead on our previous paper (and work of Rubin) on the complex abelian case, we give a new approach to such a conjecture for real ray-class extensions of totally real number fields. We study the coherence of our $p$ -adic conjecture and then formulate some integral refinements, both alone and in combination with its complex analogue. A ‘Weak Combined Refined’ version is discussed in more detail and proved in two special cases.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1891

Classification : 11R42, 11S40, 11R20, 11R27
Keywords: Stark conjecture, $p$-adic, L-function, zeta-function, abelian extension, unit, $S$-unit, regular, special value, totally real field
Mot clés : conjecture de Stark, $p$-adique, fonction L, fonction zêta, extension abélienne, unité, $S$-unité, régulateur, valeur spéciale, corps totalement réel

Affiliations des auteurs :

Solomon, David ¹

¹ King's College London, Department of Mathematics, Strand, London WC2R 2LS (Royaume-Uni)

@article{AIF_2002__52_2_379_0,
     author = {Solomon, David},
     title = {$p$-adic {Abelian} {Stark} conjectures at $s=1$},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {379--417},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {52},
     number = {2},
     year = {2002},
     doi = {10.5802/aif.1891},
     mrnumber = {1906480},
     zbl = {1039.11081},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1891/}
}

TY  - JOUR
AU  - Solomon, David
TI  - $p$-adic Abelian Stark conjectures at $s=1$
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2002
SP  - 379
EP  - 417
VL  - 52
IS  - 2
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1891/
DO  - 10.5802/aif.1891
LA  - en
ID  - AIF_2002__52_2_379_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Solomon, David
%T $p$-adic Abelian Stark conjectures at $s=1$
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2002
%P 379-417
%V 52
%N 2
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1891/
%R 10.5802/aif.1891
%G en
%F AIF_2002__52_2_379_0

Solomon, David. $p$-adic Abelian Stark conjectures at $s=1$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 2, pp. 379-417. doi : 10.5802/aif.1891. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1891/

Bibliographie
Cité par

[AF] Y. Amice; J. Fresnel Fonctions Zêta p-adiques des Corps de Nombres Algébriques Abéliens Réels, Acta Arith., Volume 20 (1972), pp. 353-384 | MR | Zbl

[CN] Pi. Cassou-Noguès Valeurs aux Entiers Négatifs des Fonctions Zêta et Fonctions Zêta p-Adiques, Inventiones Mathematicae, Volume 51 (1979), pp. 29-59 | DOI | MR | Zbl

[Co] P. Colmez Résidu en $s = 1$ des Fonctions Zêta $p$ -adiques, Inventiones Mathematicae, Volume 91 (1988), pp. 371-389 | DOI | MR | Zbl

[Gr1] B.H. Gross $p$ -adic $L$ -series at $s = 0$ , J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Volume 28 (1981), pp. 979-994 | MR | Zbl

[Gr2] B.H. Gross On the Values of Abelian $L$ -functions at $s = 0$ , J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Volume 35 (1988), pp. 177-197 | MR | Zbl

[Ha] D. Hayes The Refined $p$ -adic Abelian Stark Conjecture in Function Fields, Inventiones Mathematicae, Volume 94 (1988), pp. 505-527 | DOI | MR | Zbl

[Ka] N. Katz Another Look at $p$ -Adic $L$ -Functions for Totally Real Fields, Math. Ann., Volume 255 (1988), pp. 33-43 | DOI | MR | Zbl

[La] S. Lang Cyclotomic Fields I and II, Graduate Texts in Math., 121, Springer-Verlag, New York, 1990 | MR | Zbl

[Po] C. Popescu Base Change for Stark-Type Conjectures "Over $ℤ$ '' (To appear in J. reine angew. Math.) | MR | Zbl

[RS] X.-F. Roblot; D. Solomon Verifying a $p$ -Adic Abelian Stark Conjecture at $s = 1$ (2001) (Preprint)

[Ru] K. Rubin A Stark Conjecture "Over Z" for Abelian $L$ -Functions with Multiple Zeros, Annales de l'Institut Fourier, Volume 46 (1996) no. 1, pp. 33-62 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[Se1] J.-P. Serre Sur le Résidu de la Fonction Zêta $p$ -adique d'un Corps de Nombres, C. R. Acad. Sc. Paris, Série A, Volume 287 (1978), pp. 183-188 | MR | Zbl

[Se2] J.-P. Serre Local Fields, Springer-Verlag, New York, 1979 | MR | Zbl

[Sh] T. Shintani On Evaluation of Zeta Functions of Totally Real Algebraic Number Fields at Non-Positive Integers, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sec. 1A, Volume 23 (1976) no. 2, pp. 393-417 | MR | Zbl

[Si] C. L. Siegel Über die Fourierschen Koeffizienten von Modulformen, Nachr. Akad.Wiss Göttingen, Volume 3 (1970), pp. 15-56 | MR | Zbl

[So1] D. Solomon Galois Relations for Cyclotomic Numbers and $p$ -Units, Journal of Number Theory, Volume 46 (1994) no. 2, pp. 158-178 | DOI | MR | Zbl

[So2] D. Solomon Twisted Zeta-Functions and Abelian Stark Conjectures (To appear in the Journal of Number Theory) | MR | Zbl

[St] H. Stark $L$ -Functions at $s = 1$ , I, Advances in Mathematics, Volume 7 (1971), pp. 301-343 | MR | Zbl

[St] H. Stark $L$ -Functions at $s = 1$ , II, Advances in Mathematics, Volume 17 (1975), pp. 60-92 | MR | Zbl

[St] H. Stark $L$ -Functions at $s = 1$ , III, Advances in Mathematics, Volume 22 (1976), pp. 64-84 | MR | Zbl

[St] H. Stark $L$ -Functions at $s = 1$ , IV, Advances in Mathematics, Volume 35 (1980), pp. 197-235 | MR | Zbl

[Ta] J. T. Tate Les Conjectures de Stark sur les Fonctions $L$ d'Artin en $s = 0$ , Birkhäuser, Boston, 1984 | MR | Zbl

[Wa] L. Washington Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Math., 83, Springer-Verlag, New York, 1982 | MR | Zbl

Cité par Sources :