Colorations généralisées, graphes biorientés et deux ou trois choses sur François

Khelladi, Abdelkader

Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 3, pp. 955-971.

La généralisation des nombres chromatiques ${\chi }_n\left(G\right)$ de Stahl a été un premier thème de travail avec François et a abouti à l’introduction de la notion de colorations généralisées et leurs nombres chromatiques associés, notées ${\chi }_n^{p,q}\left(G\right)$. Cette nouvelle notion a permis d’une part, d’infirmer avec Payan une conjecture posée par Brigham et Dutton, et d’autre part, d’étendre de manière naturelle la formule de récurrence de Stahl aux nombres chromatiques ${\chi }_n^{0,q}\left(G\right)$. Cette relation s’exprime comme ${\chi }_n^{0,q}\left(G\right)\ge {\chi }_{n-1}^{0,q}\left(G\right)+2$. La conjecture de Bouchet sur les 6-flots non-nuls dans les graphes biorientés a constitué une préoccupation importante de travaux communs avec François. Si $G=(V,E)$ est un graphe simple, l’ensemble des demi-arêtes de $G$ est l’ensemble $H\left(G\right)$ défini par $H\left(G\right)=\left\{\right(e,v)\in E\times V;v\text{est}\text{incident}\text{à}e\}$. Un graphe biorienté est un couple $(G,\tau )$ où $\tau$ est une signature (appelée biorientation) de $H\left(G\right)$, c’est-à-dire une application $\tau :H\left(G\right)\to \{-1,+1\}$. Un flot (entier) de $(G,\tau )$ est une valuation de ses arêtes $f:E\to \mathbb{Z}$ telle que pour tout sommet $v$ de $G$ on ait une relation de type Kirchoff ${\sum }_{(e,v)\in H\left(G\right)}\tau (e,v).f\left(e\right)=0.$ Un $q$-flot non nul de $(G,\tau )$ est un flot $f$ tel que pour toute arête $e$ de $G,0<\left|f\right(e\left)\right|<q$. Un $m$-isthme de $(G,\tau )$ est une arête où tout flot est nul. Le principal résultat porte sur la conjecture de A. Bouchet : “ Tout graphe biorienté sans $m$-isthme admet un 6-flot non nul”.

The generalization of Stahl’s chromatic numbers ${\chi }_n\left(G\right)$ was a first topic of work with François which ended at the notion of generalized colorings and their associated chromatic numbers denoted ${\chi }_n^{p,q}\left(G\right)$. This notion allowed, in one hand to infirm with Payan a conjecture of Brigham and Dutton, and on the other hand to extend in a natural way Stahl’s recurrence relation to the chromatic numbers ${\chi }_n^{0,q}\left(G\right)$. This relation is written as ${\chi }_n^{0,q}\left(G\right)\ge {\chi }_{n-1}^{0,q}\left(G\right)+2$. Bouchet’s conjecture on the nowhere-zero 6-flow in bidirected graphs was an important topic of common research with François. If $G=(V,E)$ is a simple graph, the set of half edges of $G$ is the set denoted $H\left(G\right)$ defined by $H\left(G\right)=\left\{\right(e,v)\in E\times V;v\text{is}\text{incident}\text{to}e\}$. A bidirected graph is a couple $(G,\tau )$ where $\tau$ is a signature (called bidirection) of $H\left(G\right)$, that is a mapping $\tau :H\left(G\right)\to \{-1,+1\}$. An (integer) flow of $(G,\tau )$ is a valuation of its edges $f:E\to \mathbb{Z}$ such that for every vertex $v$ of $G$ we have a Kirchoff like relation ${\sum }_{(e,v)\in H\left(G\right)}\tau (e,v).f\left(e\right)=0$. A nowhere-zero $q$-flow of $(G,\tau )$ is a flow $f$ such that for every edge $e$ of $G,0<\left|f\right(e\left)\right|<q$. An $m$-isthmus of $(G,\tau )$ is an edge where every flow takes value zero. The principal result obtained is on Bouchet’s conjecture : “Every bidirected graph without $m$-isthmus has a nowhere-zero 6-flow”.

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