Systèmes linéaires adjoints $L^2$

Eyssidieux, Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 1, pp. 141-176.

Nous développons une version de la théorie d’indice $L^2$ d’Atiyah pour les faisceaux cohérents sur les variétés algébriques lisses et l’utilisons pour attaquer certaines questions de J. Kollár.

Soit $X$ une variété complexe compacte projective algébrique lisse et connexe. Nous prouvons que si $L$ est un diviseur nef et gros, tel que la restriction de $K_X+L$ à la fibre générale d’une application de Shafarevich est effective, $K_X+L$ est effectif.

Soit $X$ une variété kählérienne compacte telle qu’il existe une classe de cohomologie de type $(1,1)$ qui soit big et provienne du groupe fondamental de $X$. Nous prouvons que $\chi (X,K_X)\ge 0$. Si $\chi (X,K_X)\ne 0$, le revêtement universel de $X$ porte une forme holomorphe $L^2$ de degré maximale non triviale. Si $\chi (X,K_X)=0$, nous prouvons que zéro est dans le spectre du laplacien sur les formes de degré moitié si le groupe fondamental est de croissance sous-exponentielle.

We adapt Atiyah’s $L^2$-index theory to treat coherent sheaves on algebraic manifolds and use it as a tool to investigate certain questions posed by J. Kollár.

Let $X$ be a connected projective algebraic compact complex manifold. We prove that, if $L$ is a big and nef divisor on $X$, such that the restriction of $K_X+L$ to the general fiber of a Shafarevich map is effective, $K_X+L$ is effective.

Let $X$ be a connected Kähler manifold such that some big cohomology class of type $(1,1)$ is in the image of $H^2({\pi }_1\left(X\right),ℝ)$. We prove that $\chi (X,K_X)\ge 0$. Furthermore, if $\chi (X,K_X)$ is not $0$, the universal covering space of $X$ carries a non trivial $L^2$ holomorphic form of maximal degree. If $\chi (X,K_X)$ is zero, we prove that zero belongs to the spectrum of the Laplace-Beltrami operator on the middle degree forms, provided the fundamental group has subexponential growth.

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