Sur la méthode des orbites pour une algèbre de Lie résoluble

Charbonnel, Jean-Yves

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 5, pp. 1309-1344.

Soit $𝔤$ une algèbre de Lie complètement résoluble sur un corps de caractéristique zéro. Soit $Q$ un idéal $𝔤$-invariant de l’algèbre symétrique de $𝔤$. L’application de Dixmier pour $𝔤$ associe à $Q$ un idéal premier de l’algèbre enveloppante $\mathrm{U}\left(𝔤\right)$ de $𝔤$. Soit $\widehat{\mathrm{A}}\left(𝔤\right)$ l’algèbre des opérateurs différentiels à coefficients séries formelles. Dans l’algèbre $\mathrm{A}\left(𝔤\right)$ des opérateurs différentiels à coefficients polynomiaux, il y a un idéal à gauche ${\Lambda }_{𝔤}^{\prime }\left(Q\right)$ qui contient $Q$ et les champs de vecteurs adjoints. Il y a un plongement canonique $L_{𝔤}$ de $\mathrm{U}\left(𝔤\right)$ dans $\widehat{\mathrm{A}}\left(𝔤\right)$. Suivant une idée de Dixmier, on montre que pour un bon élément inversible, $𝔤$-invariant, $p$ de $\widehat{\mathrm{A}}\left(𝔤\right)$, $P$ est l’image inverse par $L_{𝔤}$ de l’idéal à gauche $\widehat{\mathrm{A}}\left(𝔤\right){\Lambda }_{𝔤}^{\prime }\left(Q\right)p$. Les éléments $p$ sont liés à la formule des caractères pour les groupes de Lie résolubles.

Let $𝔤$ be a completely solvable Lie algebra over a field of characteristic zero. Let $Q$ be a $𝔤$-invariant ideal in the symmetric algebra $\mathrm{S}\left(𝔤\right)$ of $𝔤$. The Dixmier’s map for $𝔤$ associates to $Q$ a prime ideal $P$ in the enveloping algebra $\mathrm{U}\left(𝔤\right)$ of $𝔤$. Let $\widehat{\mathrm{A}}\left(𝔤\right)$ be the algebra of differential operators with formal series coefficients. In the algebra $\mathrm{A}\left(𝔤\right)$ of differential operators with polynomial coefficients, there is a left ideal ${\Lambda }_{𝔤}^{\prime }\left(Q\right)$ which contains $Q$ and the adjoint vector fields. There is a canonical embedding $L_{𝔤}$ of $\mathrm{U}\left(𝔤\right)$ in $\widehat{\mathrm{A}}\left(𝔤\right)$. Following an idea of Dixmier, we prove that for a good invertible, $𝔤$-invariant element $p$ in $\widehat{\mathrm{A}}\left(𝔤\right)$, $P$ is the inverse image by $L_{𝔤}$ of the left ideal $\widehat{\mathrm{A}}\left(𝔤\right){\Lambda }_{𝔤}^{\prime }\left(Q\right)p$. The elements $p$ are related to the character formula for solvable Lie groups.

[1] J-Y. Charbonnel, Opérateurs différentiels et mesures invariantes, Compositio Mathematica, 87 (1987), 287-309. | Numdam | MR | Zbl

[2] J. Dixmier, Algèbres enveloppantes, Cahiers scientifiques, 37 (1974), Gauthier-Villars, Paris. | MR | Zbl

[3] J. Dixmier, Sur la méthode des orbites. Proceedings de la conférence : «Non commutative Harmonic Analysis», Marseille-Luminy, Lecture Notes in Mathematics, 728 (1978). | Zbl

[4] M. Duflo, Opérateurs différentiels biinvariants sur un groupe de Lie, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 5 (1977), 265-288. | Numdam | MR | Zbl

[5] J. E. Humphreys, Linear algebraic groups, Graduate texts in Mathematics, 21 (1975), Springer-Verlag, New-York. | MR | Zbl

[6] O. Mathieu, Bicontinuity of the Dixmier map., Journal of the American Mathematical Society 4, 4 (1191), 837-863. | Zbl

[7] R. Rentschler, L'injectivité de l'application de Dixmier pour les algèbres de Lie résolubles, Inventiones Mathematicae, 23 (1974), 49-71. | MR | Zbl

[8] R. W. Richardson, Deformations of Lie subgroups and the variations of isotropy subgroup, Acta Mathematica, 129 (1972), 35-73. | MR | Zbl

[9] P. Tauvel, Sur les quotients premiers de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie résoluble, Bulletin de la Société Mathématique de France, 106 (1978), 177-205. | Numdam | MR | Zbl