Classes d'Euler équivariantes et points rationnellement lisses

Arabia, Alberto

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 861-912.

Lorsqu’un tore $\mathbf{T}$ agit sur une variété algébrique complexe $\mathbf{X}$ munie de la topologie transcendante, nous définissons la classe d’Euler $\mathbf{T}$-équivariante d’un point fixe isolé $x\in {\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}$, qu’il soit lisse ou non. Cette classe est une fraction rationnelle à un nombre fini de variables et lorsque $x$ est rationnellement lisse dans $\mathbf{X}$, c’est un polynôme qui s’identifie canoniquement à la classe d’Euler équivariante usuelle, mais, réciproquement, lorsque la classe d’Euler équivariante est polynomiale, il n’est pas toujours vrai que le point soit rationnellement lisse. Nous donnons dans cet article des conditions suffisantes permettant d’affirmer, pour un point fixe isolé de $\mathbf{X}$, l’équivalence entre “être rationnellement lisse dans $\mathbf{X}$” et “avoir une classe d’Euler équivariante polynomiale”. Comme application de ces idées, nous démontrons un critère de lissité rationnelle pour les points d’une variété de Schubert.

In this paper we consider complex algebraic varieties endowed with an action of a torus $\mathbf{T}$ and we define the $\mathbf{T}$-equivariant Euler class for any, smooth or not, isolated fixed point $x\in {\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}$. This class is a rational fraction on a finite number of variables and when $x$ is a rationally smooth point of $\mathbf{X}$, it is a polynomial function canonically identified to the usual equivariant Euler class. We give sufficient conditions for an isolated fixed point of $\mathbf{X}$ having a polynomial equivariant Euler class to be smooth or rationally smooth. Finally, we apply these ideas to prove a rational smoothness criterion for the points of a Schubert variety.

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