Intégration des fonctions sous-analytiques et volumes des sous-ensembles sous-analytiques

Lion, Jean-Marie; Rolin, Jean-Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 755-767.

Soit $f(x,y)$ une fonction sous-analytique de ${\mathbf{R}}^n\times {\mathbf{R}}^m$ à valeurs dans ${\mathbf{R}}^{+}.$ Nous montrons que l’intégrale ${\int }_{{\mathbf{R}}^m}f(x,y)dy$ est une fonction log-analytique de $x.$ Nous en déduisons que le volume $k$-dimensionnel des éléments $Y_x$ d’une famille sous-analytique de sous-ensembles sous-analytiques globaux de l’espace euclidien ${\mathbf{R}}^m$ est une fonction log-analytique de $x.$ Un corollaire de ce résultat est le caractère log-analytique de la fonction densité $k$-dimensionnelle d’un sous-analytique global de dimension $k$ en tout point de sa fermeture topologique.

Let $f(x,y)$ be a positive subanalytic function defined on ${\mathbf{R}}^n\times {\mathbf{R}}^m.$ We prove that the integral ${\int }_{{\mathbf{R}}^m}f(x,y)dy$ is a log-analytic function of $x.$ Let $Y_x$ be a subanalytic family of global subanalytic subsets of the euclidean space ${\mathbf{R}}^m.$ We deduce from the previous result that the $k$-dimensional volume of $Y_x$ is a log-analytic function of $x.$ A corollary is the log-analytic behaviour of the $k$-dimensional density of a $k$-dimensional subanalytic set at any point of its topological closure.

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