Réseaux de Coxeter-Davis et commensurateurs

Haglund, Frédéric

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 649-666.

Pour tout entier $k\ge 6$ et tout graphe fini $L$, nous construisons un groupe de Coxeter $W$ et un complexe polygonal $A$ simplement connexe à courbure négative ou nulle, sur lequel $W$ agit proprement discontinûment, avec quotient compact, tel que chaque polygône de $A$ ait $k$ côtés, et le link de tout sommet de $A$ est isomorphe à $L$. Si $L$ est un “$m$-gone généralisé”, alors $A$ est un immeuble de Tits modelé sur un groupe de réflexion du plan hyperbolique. Nous donnons une condition sur $\mathrm{Aut}\left(L\right)$ pour que $\mathrm{Aut}\left(A\right)$ soit non discret, qui est satisfaite par exemple lorsque $L$ est un $m$-gone généralisé épais classique. Enfin, nous prouvons une propriété d’arithméticité de $W$ : le commensurateur de $W$ dans $\mathrm{Aut}\left(A\right)$ est dense dans $\mathrm{Aut}\left(A\right)$ si 4 divise $k$, et si $L$ n’a pas de lacets de longueur 3 (par exemple lorsque $L$ est un $m$-gone généralisé épais classique).

For each integer $k\ge 6$ and each finite graph $L$, we construct a Coxeter group $W$ and a non positively curved polygonal complex $A$ on which $W$ acts properly cocompactly, such that each polygon of $A$ has $k$ edges, and the link of each vertex of $A$ is isomorphic to $L$. If $L$ is a “generalized $m$-gon”, then $A$ is a Tits building modelled on a reflection group of the hyperbolic plane. We give a condition on $\mathrm{Aut}\left(L\right)$ for $\mathrm{Aut}\left(A\right)$ to be non enumerable (which is satisfied if $L$ is a thick classical generalized $m$-gon). On the other hand, if $L$ has no loops of length 3 and if 4 divides $k$, we prove an arithmeticity property for $W$: the commensurator of $W$ in $\mathrm{Aut}\left(A\right)$ is dense in $\mathrm{Aut}\left(A\right)$.

[1] W. Ballman, M. Brin, Polygonal complexes and combinatorial group theory, Geom. Dedicata, 50, sér. I (1994), 165-191. | MR | Zbl

[2] H. Bass, R. Kulkarni, Uniform tree lattices, J. Amer. Math. Soc., 3 (1990), 843-902. | MR | Zbl

[3] N. Benakli, Polyèdres à géométrie locale donnée, C. R. Acad. Sci., Paris, sér. I 313, n° 9, 561-564. | MR | Zbl

[4] M. Burger, S. Mozes, CAT(-1) spaces, divergence groups and their commensurators, J. Amer. Math. Soc, 9 (1996), 57-94. | MR | Zbl

[5] M. Davis, Groups generated by reflections and aspherical manifolds not covered by Euclidean space, Ann. of Math., 117 (1983), 293-324. | MR | Zbl

[6] M. Davis, Buildings are CAT(0), prépublication, Ohio State University, 1994. | Zbl

[7] Y. Gao, Superrigidity for homomorphisms into isometry groups of non proper CAT(-1) spaces, prépublication, Yale University, 1995. | Zbl

[8] M. Gromov, Infinite groups as geometric objects, dans Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Varsovia, 1983.

[9] A. Haefliger, Complexes of groups and orbihedra, dans Group theory from a geometrical viewpoint, E. Ghys et A. Haefliger éd., World Scientific, 1991. | MR | Zbl

[10] F. Haglund, Les polyèdres de Gromov, C. R. Acad. Sci., Paris, 313, sér. I, 603-606. | MR | Zbl

[11] Y. Liu, Density of the commensurability group of uniform tree lattices, J. Alg., 165 (1994), 346-359. | MR | Zbl

[12] G. Margulis, Discrete subgroups of semi-simple groups, Ergeb. Math. Grenz., 17, Springer Verlag, 1991. | MR | Zbl

[13] G. Moussong, Hyperbolic Coxeter groups, Thèse, Ohio State University, 1988.

[14] F. Paulin, Construction of hyperbolic groups via hyperbolization of polyhedra, dans Group theory from a geometrical viewpoint, E. Ghys et A. Haefliger éd., World Scientific, 1991.

[15] M.A. Ronan, Lectures on buildings, Persp. Math., 7, Academic Press, 1989. | MR | Zbl

[16] R. Zimmer, Ergodic theory and semi-simple groups, Birkhauser, 1984. | MR | Zbl