On a variant of Kazhdan's property (T) for subgroups of semisimple groups

Bekka, Mohammed Bachir; Louvet, Nicolas

Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997) no. 4, pp. 1065-1078.

Soit $\Gamma$ un réseau irréductible dans un produit $G$ de groupes simples. Supposons qu’un des facteurs de $G$ possède la propriété (T). Nous donnons une description de la topologie dans un voisinage de la représentation triviale de dimension un de $\Gamma$ en termes de celle du dual $\widehat{G}$ de $G$ .

Nous utilisons ce résultat pour donner une nouvelle preuve de l’annulation du premier groupe de cohomologie de $\Gamma$ à coefficients dans une représentation unitaire de dimension finie.

Let $\Gamma$ be an irreducible lattice in a product $G$ of simple groups. Assume that $G$ has a factor with property (T). We give a description of the topology in a neighbourhood of the trivial one dimensional representation of $\Gamma$ in terms of the topology of the dual space $\widehat{G}$ of $G$.

We use this result to give a new proof for the triviality of the first cohomology group of $\Gamma$ with coefficients in a finite dimensional unitary representation.

[Bor] A. Borel, Some finiteness properties of adèles groups over numbers fields, Publ. Math. IHES, 16 (1963), 1-30. | Numdam | Zbl

[BoW] A. Borel and N. Wallach, Continuous cohomology, discrete subgroups and representations of reductive groups, Annals of Math. Studies, Princeton University Press, 1980. | Zbl

[Del] P. Delorme, 1-cohomologie des représentations unitaires des groupes de Lie semi-simples et résolubles Produits tensoriels continus de représentations, Bull. Soc. Math. France, 105 (1977), 281-336. | Numdam | MR | Zbl

[Dix] J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969. | MR | Zbl

[Fe1] J.M.G. Fell, Weak containment and induced representations of groups, Canad. J. Math., 14 (1962), 237-268. | MR | Zbl

[Fe2] J.M.G. Fell, Weak containment and Kronecker products of group representations, Pac. J. Math., 13 (1963), 503-510. | MR | Zbl

[Gu1] A. Guichardet, Symmetric Hilbert spaces and related topics, Lecture Notes in Math., 261, Springer, 1972. | Zbl

[Gu2] A. Guichardet, Cohomologie des groupes localement compacts et produits tensoriels continus de représentations, J. Multivariate Anal., 6 (1976), 138-158. | MR | Zbl

[Gu3] A. Guichardet, Tensor products of C*-algebras, Part II, Lecture Notes Series, 13, Aarhus Universitet, 1969. | Zbl

[Hum] J.E. Humphreys, Arithmetic groups, Lecture Notes in Math., 789, Springer, 1980. | MR | Zbl

[HaV] P. De La Harpe et A. Valette, La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement compacts, Astérisque 75, Soc. Math. de France, 1989. | Numdam | Zbl

[Lub] A. Lubotzky, Discrete groups, expanding graphs and invariant measures, Progress in Math. 125, Birkhäuser, 1994. | MR | Zbl

[LuZ] A. Lubotzky and R.J. Zimmer, Variants of Kazhdan's property for subgroup of semisimple groups, Israel J. of Math., 66 (1989), 289-298. | MR | Zbl

[Mar] G.A. Margulis, Discrete subgroups of semisimple Lie groups, Springer, 1991. | MR | Zbl

[VeK] A.M. Vershik and S.I. Karpushev, Cohomology of groups in unitary representations, the neighbourhood of the identity and conditionally positive definite functions, Math. USSR Sbornik, 47 (1984), 513-526. | Zbl

[Zim] R.J. Zimmer, Ergodic theory and semisimple groups, Birkhäuser, Boston, 1984. | MR | Zbl