Ordre, convergence et sommabilité de produits de séries de Dirichlet

Kahane, Jean-Pierre; Queffélec, Hervé

Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997) no. 2, pp. 485-529.

L’article donne des réponses optimales ou presque optimales aux questions suivantes, qui remontent à Stieltjes, Landau et Bohr, et concernent des séries de Dirichlet $A_j=\sum _{n=1}^{\infty }a(j,n)n^{-s}$ $(j=1,2,\cdots ,k)$ et leur produit $C=\sum _{n=1}^{\infty }c\left(n\right)n^{-s}.$

1. Supposant que les $A_j$ sont convergentes aux points ${\rho }_j$ et absolument convergentes aux points ${\rho }_j+{\tau }_j,$ en quels points $s$ s’ensuit-il que $C$ est convergente ?

2. Supposant que les $A_j$ sont convergentes aux points ${\rho }_j,$ en quels points $s$ s’ensuit-il que $C$ est convergente ?

3. Supposant que les $A_j$ sont ${\alpha }_j$-sommables aux points ${\rho }_j,$ en quels points $s$ s’ensuit-il que $C$ est $\beta$-sommable ?

Les réponses font intervenir des fonctions convexes qui jouent un rôle extrémal pour une autre question : ce sont les plus grandes fonctions d’ordre (dites aussi fonctions de Lindelöf) compatibles avec les données.

Optimal or almost optimal answers are given to the following questions, going back to Stieltjes, Landau and Bohr, about Dirichlet series $A_j=\sum _{n=1}^{\infty }a(j,n)n^{-s}$ $(j=1,2,\cdots ,k)$ and their product $C=\sum _{n=1}^{\infty }c\left(n\right)n^{-s}.$

1. Assuming that the $A_j$ converge at points ${\rho }_j$ and converge absolutely at points ${\rho }_j+{\tau }_j,$ at which points $s$ does it follow that $C$ converges ?

2. Assuming that the $A_j$ converge at points ${\rho }_j,$ at which points $s$ does it follow that $C$ converges ?

3. Assuming that the $A_j$ are ${\alpha }_j$-summable at points ${\rho }_j,$ at which points $s$ does it follow that $C$ is $\beta$-summable ?

The answers involve convex functions which enjoy another extremal property: they are the largest order (= Lindelöf) functions compatible with the data.

[B1] H. Bohr, On the convergence problem for Dirichlet series, Dan. Mat. Fys. Medd., 25, 6 (1946), 1-18 (I A 17 in Collected Math. Works).

[B2] H. Bohr, On multiplication of summable Dirichlet series, Mat. Tidsskr., (1950), 71-75 (I A 19 in Collected Math. Works). | MR | Zbl

[B3] H. Bohr, On the summability function and the order function of Dirichlet series, Dan. Mat. Fys. Medd., 27, no. 4 (1952), 3-38 (manuscript prepared by E. Følner) (I A 22 in Collected Math. Works). | MR | Zbl

[Bo] N. Bourbaki, Utilisation des nombres réels en topologie générale, Chapitre 9, Paris, Hermann, 1958. | Zbl

[DT] H. Delange & G. Tenenbaum, Un théorème sur les séries de Dirichlet, Monatshefte Mat., 113 (1992), 99-105. | MR | Zbl

[HR] G. H. Hardy & M. Riesz, The general theory of Dirichlet series, Cambridge tracts in Math. and Math. Physics, 18 (1915). | JFM

[K1] J.-P. Kahane, The last problem of Harald Bohr, J. Austr. Math. Soc., A 47 (1989), 133-152. | MR | Zbl

[K2] J.-P. Kahane, Sur trois notes de Stieltjes relatives aux séries de Dirichlet. Numéro spécial “100 ans après Stieltjes” des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, (1996), 33-56. | Numdam | MR | Zbl

[L1] E. Landau, Über die Multiplication Dirichlet'schen Reihen, Rendiconti di Palermo, 24 (1907), 81-160. | JFM

[L2] E. Landau, Über das Konvergenzproblem der Dirichlet'schen Reihen, Rendiconti di Palermo, 28 (1909), 113-151. | JFM

[Q] H. Queffelec, Propriétés presque-sûres et quasi-sûres des séries de Dirichlet et des produits d'Euler, Canad. J. Math., 32 (1980), 531-558. | MR | Zbl

[Ri] M. Riesz, Sur l'équivalence de certaines méthodes de sommation, Proc. London Math. Soc., (2) 22 (1924), 412-419. | JFM

[Ru] W. Rudin, Real and complex analysis, 3rd ed. Mc-Graw Hill, 1987, p. 118. | MR | Zbl