Intégrales orbitales sur $GL\left(N\right)$ et corps locaux proches

Lemaire, Bertrand

Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 4, pp. 1027-1056.

Soient $F$ un corps local non archimédien, $N$ un entier $\ge 2$, $\underline{G}=GL\left(N\right)$, $n$ un entier $\ge 1$ et $\mathscr{H}\left(\underline{G}\right(F),K_F^n)$ l’algèbre de Hecke de $\underline{G}\left(F\right)$ relative au sous-groupe de congruence modulo ${𝒫}_F^n$ de $\underline{G}({𝒪}_F)$. On prouve une formule explicite pour les intégrales orbitales elliptiques des fonctions de $\mathscr{H}\left(\underline{G}\right(F),K_F^n)$. Grâce à cette formule, pour $\gamma \in \underline{G}\left(F\right)$ semi-simple régulier, on produit un entier $r=r(\gamma ,n)\ge n$ tel que pour tout corps local non archimédien $F^{\prime }$ $r$-proche de $F$ (i.e. tel qu’il existe un isomorphisme d’anneaux ${𝒪}_F/{𝒫}_F^r\simeq {𝒪}_{F^{\prime }}/{𝒫}_{F^{\prime }}^r$), il existe ${\gamma }^{\prime }\in \underline{G}(F^{\prime })$ semi-simple régulier tel que les intégrales orbitales au point $\gamma$ de toutes les fonctions de $\mathscr{H}\left(\underline{G}\right(F),K_F^n)$ coïncident, via la donnée d’un isomorphisme d’algèbres $\mathscr{H}\left(\underline{G}\right(F),K_F^n)\simeq \mathscr{H}\left(\underline{G}\right(F^{\prime }),K_{F^{\prime }}^n)$, avec celles des fonctions de $\mathscr{H}\left(\underline{G}\right(F^{\prime }),K_{F^{\prime }}^n)$ au point ${\gamma }^{\prime }$.

Let $F$ be a local non-archimedean field, $N$ an integer $\ge 2$, $\underline{G}=GL\left(N\right)$, $n$ a positive integer and $\mathscr{H}\left(\underline{G}\right(F),K_F^n)$ the Hecke algebra of $\underline{G}\left(F\right)$ with respect to the congruence subgroup modulo ${𝒫}_F^n$ of $\underline{G}({𝒪}_F)$. We prove an explicit formula for the elliptic orbital integrals of functions in $\mathscr{H}\left(\underline{G}\right(F),K_F^n)$. Thanks to this formula, for $\gamma \in \underline{G}\left(F\right)$ semi-simple regular, we produce an integer $r=r(\gamma ,n)\ge n$ such that for any local non-archimedean field $F^{\prime }$ $r$-close to $F$ (i.e. such that there exists an isomorphism of rings ${𝒪}_F/{𝒫}_F^r\simeq {𝒪}_{F^{\prime }}/{𝒫}_{F^{\prime }}^r$), there exists ${\gamma }^{\prime }\in \underline{G}(F^{\prime })$ semi-simple regular such that the orbital integrals at $\gamma$ of all functions in $\mathscr{H}\left(\underline{G}\right(F),K_F^n)$ match, via a given isomorphism of algebras $\mathscr{H}\left(\underline{G}\right(F),K_F^n)\simeq \mathscr{H}\left(\underline{G}\right(F^{\prime }),K_{F^{\prime }}^n)$, those of functions in $\mathscr{H}\left(\underline{G}\right(F^{\prime }),K_{F^{\prime }}^n)$ at ${\gamma }^{\prime }$.

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