Sur le genre arithmétique des courbes rationnelles

Pecker, Daniel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 2, pp. 293-306.

Harris et Eisenbud ont trouvé des bornes pour le genre des courbes de degré ${\mathbf{P}}_r$ non contenus dans une surface de degré inférieur à $s$ (avec $s<2r-2$). On construit ici des courbes rationnelles de genre arithmétique maximum pour $s<2r-3$, c’est-à-dire possédant un lieu singulier maximum. Nos courbes n’ont que des points multiples ordinaires réels à tangentes réelles et quand c’est possible elles sont nodales.

Harris and Eisenbud found a bound for the genus of curves of degree $d$ in the projective space ${\mathbf{P}}_r$ that are not contained in surfaces of degree less than $s$ (with $s<2r-2$). We give elementary constructions of rational curves with a maximal arithmetic genus for $s<2r-3$, that is with a maximal singular locus. Our curves have only real ordinary singular points with real tangents. When it is possible they are nodal curves.

[A] N. A'Campo, Sur la première partie du seizième problème de Hilbert, Séminaire Bourbaki, vol. 1978/1979, Lecture Notes in Math., vol 770, Springer (1980). | Numdam | Zbl

[B.C.C] E. Ballico, F. Catanese and C. Ciliberto, Open problems in classification of irregular varieties, 140-146, Lecture Notes in Math. 1515, Springer-Verlag (1992). | Zbl

[B.C.R] J. Bochnak, M. Coste et M.-F. Roy, Géométrie algébrique réelle, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer (1987). | MR | Zbl

[B.R] R. Benedetti and J.-J. Risler, Real Algebraic and semi-algebraic sets, Actualités Mathématiques, Hermann (1990). | MR | Zbl

[C] M. Coste, Épaississement d'hypersurfaces algébriques réelles, Proc. Japan Acad., Ser. A. Math. Sci., 68 (1992), 175-180. | Zbl

[G.P] L. Gruson et C. Peskine, Genre des courbes de l'espace projectif (II), Ann. Sci. École Normale Supérieure, 4e série, 15 (1982), 401-418. | Numdam | MR | Zbl

[G.P2] L. Gruson et C. Peskine, Postulation des courbes gauches, in Algebraic geometry open problems, Lecture Notes 987 (1983). | MR | Zbl

[G]D.A. Gudkov, The topology of real projective algebraic varieties, Russ. Math. Surveys, 29 (4) (1974), 1-79. | MR | Zbl

[HEi] J. Harris (chapter III in collaboration with D. Eisenbud), Curves in projective space, Presses de l'université de Montréal (1982).

[Ha1] R. Hartshorne, Genre des courbes algébriques dans l'espace projectif (d'après L. Gruson et C. Peskine), Séminaire Bourbaki n° 592 (1982). | Numdam | Zbl

[Ha2] R. Hartshorne, Une courbe irréductible non lissifiable dans ℙ3, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 299 Série I, n° 5 (1984). | MR | Zbl

[H.H] R. Hartshorne and A. Hirschowitz, Smoothing algebraic space curves, in Week of algebraic geometry, Barcelona 1983, Lecture Notes in Math, Springer-Verlag. | Zbl

[H] H. Hironaka, On the arithmetic genera and the effective genera of algebraic curves, Memoirs of the College of Science, University of Kyoto, series A, vol. XXX Math. n° 2 (1957). | MR | Zbl

[P1] D. Pecker, Courbes gauches ayant beaucoup de points multiples, C. R. Acad. Sci. Paris, 315, Série I (1992), 561-565. | MR | Zbl

[P2] D. Pecker, Simple constructions of algebraic curves with nodes, Composito Math., 87 (1993), 1-4. | Numdam | MR | Zbl

[P3] D. Pecker, Un théorème de Harnack dans l'espace, Bull. Sci. Math, 118 (1994), 475-484. | MR | Zbl

[T1] A. Tannenbaum, Familles of algebraic curves with nodes, Compositio Math., 41 (1980), 107-126. | Numdam | MR | Zbl

[T2] A. Tannenbaum, On the geometric genera of projective curves, Math. Ann., 240 (3) (1979), 213-221. | MR | Zbl