The center of a graded connected Lie algebra is a nice ideal

Félix, Yves

Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 1, pp. 263-278.

Soit $\left(𝕃\right(V),d)$ une algèbre de Lie différentielle graduée définie sur le corps des nombres rationnels. Un idéal $I$ dans l’algèbre de Lie $H\left(𝕃\right(V),d)$ est dit gentil si pour tout cycle $\alpha \in 𝕃\left(V\right)$ dont la classe appartient à $I,I$ contient le noyau de l’application $H\left(𝕃\right(V),d)\to H\left(𝕃\right(V\oplus \mathbb{Q}x),d),d\left(x\right)=\alpha$. Nous montrons que le centre de $H\left(𝕃\right(V),d)$ est un gentil idéal et nous donnons dans ce cas des informations sur la structure de $H\left(𝕃\right(V\oplus \mathbb{Q}x),d)$. Ceci est ensuite appliqué à l’étude de la structure de l’algèbre de Lie d’homotopie rationnelle $L_X={\pi }_{*}\left(\Omega X\right)\oplus \mathbb{Q}$ d’un CW complexe simplement connexe $X$.

Let $\left(𝕃\right(V),d)$ be a free graded connected differential Lie algebra over the field $\mathbb{Q}$ of rational numbers. An ideal $I$ in the Lie algebra $H\left(𝕃\right(V),d)$ is called nice if, for every cycle $\alpha \in 𝕃\left(V\right)$ such that $\left[\alpha \right]$ belongs to $I$, the kernel of the map $H\left(𝕃\right(V),d)\to H\left(𝕃\right(V\oplus \mathbb{Q}x),d)$, $d\left(x\right)=\alpha$, is contained in $I$. We show that the center of $H\left(𝕃\right(V),d)$ is a nice ideal and we give in that case some informations on the structure of the Lie algebra $H\left(𝕃\right(V\oplus \mathbb{Q}x),d)$. We apply this computation for the determination of the rational homotopy Lie algebra $L_X={\pi }_{*}\left(\Omega X\right)\otimes \mathbb{Q}$ of a simply connected space $X$. We deduce that the kernel of the map $L_X\to L_Y$ induced by the attachment of a cell along an element in the center is contained in the center.

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