Zeta functions of Jordan algebras representations

Achab, Dehbia

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 5, pp. 1283-1303.

Ce travail porte sur une généralisation de la fonction zêta de Kœcher . Soient $V$ une algèbre de Jordan simple euclidienne de dimension $n$ et de rang $m,E$ un espace euclidien de dimension $N$, $\phi$ une représentation auto-adjointe régulière de $V$ dans $E$, $Q$ la forme quadratique vectorielle associée à $\phi$, $\Omega$ le cône symétrique associé à $V$, et $G\left(\Omega \right)$ son groupe d’automorphismes

$$G\left(\Omega \right)=\{g\in GL(V\left)\right|g\left(\Omega \right)=\Omega \}.$$

($H_1$) On suppose que $V$ et $E$ admettent des $\mathbf{Q}$-structures $V_{\mathbf{Q}}$ et $E_{\mathbf{Q}}$ respectivement et $\phi$ est définie sur $\mathbf{Q}$. Soit $L$ un réseau dans $E_{\mathbf{Q}}$. La série zêta associée à $\phi$ et $L$ est définie par

$${\zeta }_L\left(s\right)=\sum _{l\in {\Gamma }_{\circ }\setminus L^{\prime }}\left[\det \right(Q\left(l\right)){]}^{-s},\forall s\in \mathbf{C}$$

où $L^{\prime }=\{l\in L|\det \left(Q\right(l\left)\right)\ne 0\}$, ${\Gamma }_{\circ }$ est un certain sous-groupe arithmétique de $GL\left(E\right)$. ($H_2$) On suppose que $V_{\mathbf{Q}}$ est déployée, i.e. son rang est égal à son rang primitif. Les résultats fondamentaux sont : 1. Sous les hypothèses ($H_1$) et ($H_2$) et à l’aide de la théorie de la réduction de Borel (ensembles de Siegel), on montre que la série zêta ${\zeta }_L\left(s\right)$ converge absolument pour $\mathrm{Re}\left(s\right)>\frac{N}{2m}$. 2. ${\zeta }_L$ admet un prolongement analytique en tant que fonction méromorphe sur tout le plan $\mathbf{C}$ et vérifie une équation fonctionnelle similaire à celle de la fonction zêta de Riemann.

This work is about a generalization of Kœcher’s zeta function. Let $V$ be an Euclidean simple Jordan algebra of dimension $n$ and rank $m$, $E$ an Euclidean space of dimension $N$, $\phi$ a regular self-adjoint representation of $V$ in $E$, $Q$ the quadratic form associated to $\phi$, $\Omega$ the symmetric cone associated to $V$ and $G\left(\Omega \right)$ its automorphism group

$$G\left(\Omega \right)=\{g\in GL(V\left)\right|g\left(\Omega \right)=\Omega \}.$$

($H_1$) Assume that $V$ and $E$ have $\mathbf{Q}$-structures $V_{\mathbf{Q}}$ and $E_{\mathbf{Q}}$ respectively and $\phi$ is defined over $\mathbf{Q}$. Let $L$ be a lattice in $E_{\mathbf{Q}}$. The zeta series associated to $\phi$ and $L$ is defined by

$${\zeta }_L\left(s\right)=\sum _{l\in {\Gamma }_{\circ }\setminus L^{\prime }}\left[\det \right(Q\left(l\right)){]}^{-s},\forall s\in \mathbf{C}$$

where $L^{\prime }=\{l\in L|\det \left(Q\right(l\left)\right)\ne 0\}$, ${\Gamma }_{\circ }$ is some arithmetic subgroup of $GL\left(E\right)$. ($H_2$) Assume that $V_{\mathbf{Q}}$ is split, which means that its rank equals its primitive rank. The fundamental results are: 1. Under the assumptions ($H_1$) and ($H_2$) and using reduction theory (Siegel sets), we show that the zeta series ${\zeta }_L\left(s\right)$ converges absolutely for $\mathrm{Re}\left(s\right)>\frac{N}{2m}$. 2. ${\zeta }_L$ admits an analytic continuation as a meromorphic function on the whole plane $\mathbf{C}$ and satisfies to a functional equation similar to that of Riemann’s zeta function.

[1] D. Achab, Représentations des algèbres de Jordan de rang 2 et fonctions zeta associées, Annales de l'Institut Fourier, Grenoble, 45-2 (1995), 437-451. | Numdam | MR | Zbl

[2] T. Arakawa, Dirichlet Series Corresponding to Siegel's Modular Forms, Math. Ann., 238 (1978), 157-173. | MR | Zbl

[3] A. Ash, D. Mumford, M. Rapopport et Y.S. Tai, Smooth compactifications of locally symmetric varieties. Lie groups : History, frontiers and applications, Math. Sci. Press, 1975. | Zbl

[4] A. Borel, Introduction aux groupes arithmétiques, Hermann, Paris, 1969. | MR | Zbl

[5] A. Borel, Linear algebraic groups. Second Enlarged Edition, Springer-Verlag, 1991. | MR | Zbl

[6] A. Borel, Density and maximality of arithmetic subgroups, J. Reine Angw. Math., 224 (1966), 78-89. | MR | Zbl

[7] Braun et KŒCher, Jordan-Algebren, Springer, 1966. | Zbl

[8] J.L. Clerc, Représentations d'une algèbre de Jordan, polynômes invariants et harmoniques de Stiefel, J. Reine Angw. Math., 423 (1992), 47-71. | Zbl

[9] J. Faraut et A. Koranyi, Analysis on symmetric cones, Oxford University Press, 1994. | MR | Zbl

[10] M. Koecher, Uber Dirichlet-Reihen mit Funktionalgleichung, J. Reine Angw. Math., 192 (1953), 1-23. | MR | Zbl

[11] A. Krieg, Kœcher-Maass-Series for Modular Forms of Quaternions, Manuscripta Math., 66 (1990), 431-451. | MR | Zbl

[12] A. Krieg, Modular Forms on Half-Spaces of Quaternions, Springer-Verlag, 1980.

[13] H. Maass, Siegel's Modular Forms and Dirichlet Series, Lect. Notes in Math. 216, Springer-Verlag, 1971. | MR | Zbl

[14] M. Sato et T.Shintani, On zeta functions associated with prehomogeneous vector spaces, Ann. of Math., 100 (1974), 131-170. | MR | Zbl

[15] I. Satake, private communication.