Nombres normaux dans diverses bases

Bertrand-Mathis, Anne

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 5, pp. 1205-1222.

En s’inspirant d’un article de Feldman et Smorodinsky on étudie l’apparition d’un bloc de chiffres fixé dans le $\theta$-développement de ${\beta }^n$. On montre que si $\beta$ et $\theta$ sont des nombres de Pisot non équivalents, les ensembles des nombres normaux au sens des chiffres pour $\beta$ et $\theta$ sont différents, et que si $\theta$ est un Pisot et $\beta$ un entier algébrique non équivalent à $\theta$, les ensembles des nombres géométriquement normaux relativement à $\beta$ et $\theta$ sont distincts.

Following a paper of Feldman and Smorodinsky, we study occurrence of a fixed block of digits in the $\theta$-development of ${\beta }^n$. We show that for non-equivalent Pisot numbers $\beta$ and $\theta$, the set of $\beta$-digit normal numbers and $\theta$-digit normal numbers are different; we also show that for two non equivalent algebraic integers $\beta$ and $\theta$ with $\theta$ Pisot, the set of geometric normal numbers in $\theta$-basis respectively are different.

[BE1] A. Bertrand-Mathis, Développements en base de Pisot et répartition modulo un de la suite (xθn) n≥0, langages codés et θ-shift, Bull. Soc. Math. France, 114 (1986), 271-323. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[BE2] A. Bertrand-Mathis, Le θ-shift sans peine, preprint.

[BE3] A. Bertrand-Mathis, Répartition modulo un et développements en base θ, C. R. Acad. Sci. Paris, 289 (1979), 1-4. | MR | Zbl

[BE4] A. Bertrand-Mathis, Preprint, Université de Poitiers.

[BMP] G. Brown, W. Moran, A. Pollington, Normality to non-integer bases, C. R. Acad. Sci. Paris, 316, Série I (1993), 1241-1244. | MR | Zbl

[C] J.W.S. Cassels, An introduction to diophantine approximation, Cambridge Univ. Press, London, 1957. | MR | Zbl

[FS] J. Feldman, M. Smorodinsky, Normal numbers from independent Process, Ergod. Th. and Dynam. Syst., 12 (1992), 707-712. | MR | Zbl

[H] F. Hofbauer, Maximal measures for simple piecewise monotonic transformations, Z. Wahrschein Verw. Gebiete, 52, n° 3 (1980). | MR | Zbl

[M] J. Maxfield, Normal k-uples, Pacific J. Math., 3 (1953), 189-196. | MR | Zbl

[MF1] M. Mendès-France, Thèse, Journal of Analysis (1986).

[MF2] M. Mendès-France, Les ensembles de Bésineau, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, Théorie des nombres, fasc. 7, Paris 1975. | Numdam | MR | Zbl

[P] W. Parry, On the β-expansions of real numbers, Acta. Math. Acad. Sci. Hungar., 11 (1960), 401-416. | MR | Zbl

[Po] A. Pollington, The Hausdorff dimension of a set of normal numbers, Pacific J. Math., 95 (1981), 193-204. | MR | Zbl

[PK] C.E.M. Pearce, M. Keane, Normal numbers, Journal of Australian Math. Soc., (1988).

[R] A. Renyi, Representations for real numbers, Acta. Math. Sci. Hungar., 8 (1957), 447-495. | Zbl

[S1] W. Schmidt, On normal numbers, Pacific J. of Math., 10 (1960), 661-672. | MR | Zbl

[S2] W. Schmidt, Uber die Normalität von Zahlen zu verschiedenen basen, Acta. Arith., 7 (1962), 299-301. | MR | Zbl

[Sm] M. Smorodinsky, θ-shifts are Bernoulli shifts, Acta. Math. Acad. Sci. Hungar., 24 (1973), 273-278. | MR | Zbl