Rétractes d'un espace

Haouari, Mohammed El

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 4, pp. 1079-1089.

Notre but dans ce texte est de montrer le résultat suivant : Si $X$ est un C.W. complexe, simplement connexe, de type fini, avec ${\pi }_{*}\left(\Omega X\right)\otimes \mathbb{Q}$ finiment engendré comme algèbre de Lie, alors, à équivalence d’homotopie rationnelle près, il n’existe qu’un nombre fini de rétractes de $X$. L’existence d’un nombre fini de rétractes a été obtenue par L. Renner en 1990 dans le cas où $H^{*}(X;\mathbb{Q})$ est finiment engendré en tant que $\mathbb{Q}$-algèbre. Notre résultat élargit ainsi le cadre des espaces n’ayant, à équivalence d’homotopie rationnelle près, qu’un nombre fini de rétractes.

In this paper we will show the following result: If $X$ is C.W. complex, simply connected and of finite type such that ${\pi }_{*}\left(\Omega X\right)\otimes \mathbb{Q}$ is finitely generated as a Lie algebra, then up to rational homotopy equivalence, there exists only a finite number of retracts of $X$. The existence of a finite number of retracts has been obtained by L. Renner in 1990 under the hypothesis that $H^{*}(X;\mathbb{Q})$ is finitely generated as a $\mathbb{Q}$-algebra. Our result extends the class of spaces having, up to rational homotopy equivalence, only a finite number of retracts.

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