Extreme harmonic functions and boundary value problems

Gowrisankaran, Kohur

Annales de l'Institut Fourier, Tome 13 (1963) no. 2, pp. 307-356.

On introduit axiomatiquement une notion d’ensemble effilé et d’ensemble d’approximation fine généralisant l’effilement de L. Naïm à la frontière de Martin. Dans le cas particulier, de la théorie axiomatique du potentiel de M. Brelot surtout considéré ici, cela conduit à réaliser les fonctions harmoniques minimales $>0$ (à un facteur près) comme des points d’une frontière généralisant la partie utile de la frontière de Martin, et la trace du filtre des voisinages d’un tel élément se compose précisément des ensembles d’approximation fine. Un principe de minimum avec cette frontière pour les fonctions surharmoniques est démontré ; ce principe conduit à l’étude d’un problème de Dirichlet avec cette frontière. Grâce à un axiome supplémentaire (axiome de résolutivité) on étend les résultats de Fatou-Naïm-Doob sur l’allure à la frontière des fonctions surharmoniques dans la théorie axiomatique. Enfin on trouve que le dernier axiome est vérifié dans le cas important de “proportionalité” dit aussi “cas d’unicité”.

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