The modified diagonal cycle on the triple product of a pointed curve

Gross, Benedict H.; Schoen, Chad

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 3, pp. 649-679.

Soit $X$ une courbe sur un corps $k$ et soit $e\in X\left(k\right)$. Nous définissons un cycle canonique ${\Delta }_e\in Z^2(X^3{)}_{\mathrm{hom}}$. Supposons que $k$ est un corps de nombres et que $X$ a un modèle semi-stable sur les entiers de $k$ dont les composantes irréductibles des fibres sont lisses. Nous construisons un modèle régulier de $X^3$ et vérifions que l’accouplement de Beilinson-Bloch, $\langle {\tau }_{*}\left({\Delta }_e\right),{\tau }_{*}^{\prime }\left({\Delta }_e\right)\rangle$, est bien défini, où $\tau$ et ${\tau }^{\prime }$ sont les correspondances. Si $X$ est une courbe modulaire et $\tau$ et ${\tau }^{\prime }$ sont les opérateurs de Hecke convenables, on conjecture une formule liant la dérivée d’une fonction $L$ avec l’accouplement de Beilinson-Bloch.

Let $X$ be a curve over a field $k$ with a rational point $e$. We define a canonical cycle ${\Delta }_e\in Z^2(X^3{)}_{\mathrm{hom}}$. Suppose that $k$ is a number field and that $X$ has semi-stable reduction over the integers of $k$ with fiber components non-singular. We construct a regular model of $X^3$ and show that the height pairing $\langle {\tau }_{*}\left({\Delta }_e\right),{\tau }_{*}^{\prime }\left({\Delta }_e\right)\rangle$ is well defined where $\tau$ and ${\tau }^{\prime }$ are correspondences. The paper ends with a brief discussion of heights and $L$-functions in the case that $X$ is a modular curve.

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