Stokes phenomenon, multisummability and differential Galois groups

Loday-Richaud, Michèle

Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 3, pp. 849-906.

On précise la description cohomologique du phénomène de Stokes des systèmes différentiels linéaires de Malgrange et Sibuya en caractérisant chaque classe de cohomologie par un unique cocycle appelé “cocyle de Stokes". Et on détaille un algorithme algébrique qui transforme un cocyle quelconque en l’unique cocycle de Stokes qui lui est cohomologue. Ceci conduit à une définition presque algébrique des sommes des solutions formelles des systèmes qu’on compare aux sommations les plus connues. Par ailleurs, on utilise cette contruction du cocyle de Stokes dans une approche tannakienne de la théorie de Galois différentielle : on démontre en particulier par cette méthode, le théorème de Ramis sur la génération des groupes de Galois différentiels.

We precise the cohomological analysis of the Stokes phenomenon for linear differential systems due to Malgrange and Sibuya by making a rigid natural choice of a unique cocycle (called a Stokes cocyle) in every cohomological class. And we detail an algebraic algorithm to reduce any cocycle to its cohomologous Stokes form. This gives rise to an almost algebraic definition of sums for formal solutions of systems which we compare to the most usual ones. We also use this construction to the Stokes cocycle in a tannakian approach of differential Galois theory: in particular, we prove in this way, the theorem of Ramis on the generation of the differential Galois groups.

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