Construction of a certain superharmonic majorant

Koosis, Paul

Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 3, pp. 729-766.

Soit $f\left(t\right)\ge 0$ une fonction définie sur $ℝ$ telle que ${\int }_{-\infty }^{\infty }\left(f\right(t)/(1+t^2\left)\right)dt<\infty$ et que $\left|f\right(t)-f(t^{\prime }\left)\right|\le l|t-t^{\prime }|$; on montre comment obtenir une majorante surharmonique (finie ) sur $ℂ$ de la fonction

$$F\left(z\right):\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\left|𝔍z\right|}{|z-t{|}^2}f\left(t\right)dt-Al\left|𝔍z\right|,$$

$A$ étant une (grande) constante absolue. On en tire des démonstrations assez constructives des deux théorèmes principaux du multiplicateur dûs à Beurling et à Malliavin. Le procédé repose sur une version du lemme suivant qui remonte très probablement à Beurling : étant donné une fonction $f\left(t\right)$ bornée inférieurement par une quantité $>0$ et telle que ${\int }_{-\infty }^{\infty }\left(f\right(t)/(1+t^2)dt<\infty$, fixons une constante $\alpha >0$ et, pour chaque $x\in ℝ$, désignons par $Y_{\alpha }\left(x\right)$ l’unique valeur $>0$ de $y$ pour laquelle

$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{yf\left(t\right)}{(x-t{)}^2+y^2}dt=\alpha y;$$

on a alors ${\int }_{-\infty }^{\infty }(Y_{\alpha }\left(x\right)/(1+x^2\left)\right)dx<\infty$.

Given a function $f\left(t\right)\ge 0$ on $ℝ$ with ${\int }_{-\infty }^{\infty }\left(f\right(t)/(1+t^2\left)\right)dt<\infty$ and $\left|f\right(t)-f(t^{\prime }\left)\right|\le l|t-t^{\prime }|$, a procedure is exhibited for obtaining on $ℂ$ a (finite) superharmonic majorant of the function

$$F\left(z\right):\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\left|𝔍z\right|}{|z-t{|}^2}f\left(t\right)dt-Al\left|𝔍z\right|,$$

where $A$ is a certain (large) absolute constant. This leads to fairly constructive proofs of the two main multiplier theorems of Beurling and Malliavin. The principal tool used is a version of the following lemma going back almost surely to Beurling: suppose that $f\left(t\right)$, positive and bounded away from 0 on $ℝ$, is such that ${\int }_{-\infty }^{\infty }\left(f\right(t)/(1+t^2)dt<\infty$ and denote, for any constant $\alpha >0$ and each $x\in ℝ$, the unique value $>0$ of $y$ making

$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{yf\left(t\right)}{(x-t{)}^2+y^2}dt=\alpha y$$

by $Y_{\alpha }\left(x\right)$; then ${\int }_{-\infty }^{\infty }(Y_{\alpha }\left(x\right)/(1+x^2\left)\right)dx<\infty$.

[1] P. Koosis, La plus petite majorante surharmonique et son rapport avec l'existence des fonctions entières de type exponentiel jouant le rôle de multiplicateurs, Annales de l'Inst. Fourier, 33-1 (1983), 67-107. | Numdam | MR | Zbl

[2] P. Koosis, The Logarithmic Integral, II, Cambridge University Press, Cambridge, 1992, xxvi + 574p. | MR | Zbl

[3] A. Beurling, and P. Malliavin, On Fourier transforms of measures with compact support, Acta Math., 107 (1962), 291-309. | MR | Zbl

[4] P. Koosis, Harmonic estimation in certain slit regions and a theorem of Beurling and Malliavin, Acta Math., 142 (1979), 275-304. | MR | Zbl

[5] P. Koosis, A relation between two results about entire functions of exponential type. To appear in a special M.G. Krein memorial issue of the Ukrainskii Matem. Zhurnal, edited by I.V. Ostrovskii. | Zbl

[6] P. Koosis, Weighted polynomial approximation on arithmetic progressions of intervals or points, Acta Math., 116 (1966), 223-277. | MR | Zbl

[7] P. Koosis, The Logarithmic Integral, I, Cambridge University Press, Cambridge, 1988, xvi + 606p. | MR | Zbl

[8] A. Beurling, A minimum principle for positive harmonic functions, Annales Acad. Scient. Fennicae, Ser. A I, 372 (1965), 1-7. | MR | Zbl

[9] A. Beurling, and P. Malliavin, On the closure of characters and the zeros of entire functions, Acta Math., 118 (1967), 79-93. | MR | Zbl

[10] W. Fuchs, Topics in the Theory of Functions of one Complex Variable, Van Nostrand, Princeton, 1967, vi + 193p. | MR | Zbl

[11] A. Erdélyi, et al. Tables of Integral Transforms, I, McGraw-Hill, New York, 1954, xx + 391p. | Zbl

[12] M. Tsuji, Potential Theory in Modern Function Theory, Maruzen, Tokyo, 1959, 590p. | MR | Zbl

[13] G.M. Golusin, Geometrische Funktionentheorie, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1957, xii + 438p. | MR | Zbl

[14] K. Haliste, Estimates of harmonic measures, Arkiv för Mat., 6 (1965), 1-31. | MR | Zbl

[15] P. Sjögren, La convolution dans L1 faible de Rn, Séminaire Choquet, 13e année, 1973/1974, no. 14. 10p. | Numdam | Zbl

[16] P. Sjögren, Weak L1 characterizations of Poisson integrals, Green potentials, and Hp spaces, Trans. A.M.S., 233 (1977), 179-196. | Zbl