Produit tensoriel de matrices, homologie cyclique, homologie des algèbres de Lie

Gaucher, Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 2, pp. 413-431.

On munit, naturellement, d’un surproduit l’algèbre extérieure de l’homologie cyclique d’une $k$-algèbre commutative $A$ ($k$ étant un corps de caractéristique zéro) à l’aide du produit de Loday-Quillen. On munit d’un surproduit l’homologie de l’algèbre de Lie du groupe linéaire général de $A$ à l’aide du produit tensoriel de matrices. On montre que l’isomorphisme d’algèbres de Hopf de Loday-Quillen est compatible avec les surproduits définis ci-dessus. On obtient ainsi une interprétation du produit de Loday-Quillen, de nature combinatoire, en terme d’opérations sur les matrices.

We construct, in a natural way, a ring object structure on the exterior algebra of the cyclic homology of a commutative $k$-algebra $A$ ($k$ being a characteristic zero field) using the Loday-Quillen product. We construct a ring object structure on the homology of the Lie algebra of the general linear group of $A$ using the tensor product of matrices. We prove that Loday-Quillen’s Hopf algebra isomorphism is compatible with the ring object structures defined above. Thus we get an interpretation of the Loday-Quillen product, of a combinatorial nature, in terms of matrix operations.

[Ab]E. Abe, Hopf algebras, Cambridge University Press 74, 1977.

[Bo]N. Bourbaki, Algèbre, tome 1, Hermann.

[G]P. Gaucher, Produit tensoriel de matrices et homologie cyclique, C.R.A.S., t.312, Série (I 1991), 13-16. | MR | Zbl

[G']P. Gaucher, Lambda-opération et homologie des matrices, C.R.A.S., t.313, Série I, n° 10 (1991), 663-666. | MR | Zbl

[Hu]D. Husemoller, Homology of Certain H-Spaces as Group Ring Objects, Algebra, Topology and Category Theory, A collection of papers in Honor of Samuel Eilenberg, Academic Press INC., New York San Francisco London (1976), 309-377. | MR | Zbl

[L]J-L. Loday, K-théorie algébrique et représentation de groupes, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 4ème série, t.9 (1976), 309-377. | Numdam | MR | Zbl

[L']J-L. Loday, Cyclic Homology, Grund.math.Wiss. 301, Springer, 1992. | MR | Zbl

[LQ]J-L. Loday, D. Quillen, Cyclic homology and the Lie algebra homology of matrices, Comment. Math. Helvetici, 59 (1984), 565-591. | MR | Zbl

[M]S. Mclane, Homology, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1967.

[MM]J W. Milnor, J C. Moore, On the structure of Hopf algebra, Ann. of Math., 81 (1965), 211-264. | MR | Zbl

[S]M.E. Sweedler, Hopf algebra, New York, W.A. Benjamin, Inc, 1969. | Zbl

[Ta]D. Tanre, Homotopie rationnelle et Modèle de Chen Quillen Sullivan, L.N.1025, Springer Verlag, Berlin Heidelberg, New-York Tokyo, 1983. | MR | Zbl