Preparation theorems for matrix valued functions

Dencker, Nils

Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 3, pp. 865-892.

Nous généralisons le théorème de préparation de Malgrange au cas des fonctions $F(t,x)\in C^{\infty }(\mathbf{R}\times {\mathbf{R}}^n)$ à valeurs matricielles. Nous supposons que $t\mapsto \det F(t,0)$ s’annule à un ordre fini en $t=0$. Nous démontrons qu’on peut alors factoriser $F$ sous la forme $F(t,x)=C(t,x)P(t,x)$ au voisinage de (0,0), où $C(t,x)\in C^{\infty }$ est inversible et $P(t,x)$ est un polynôme en $t$, à coefficients qui sont des fonctions $C^{\infty }$ de $x$. Si nous imposons des conditions supplémentaires sur $P(t,x)$, nous montrons que la préparartion est (essentiellement) unique, modulo des fonctions s’annulant à l’ordre infini en $x=0$. Nous donnons aussi une généralisation du théorème de division de Malgrange, et des versions analytiques qui généralisent les théorèmes de préparation et division de Weierstrass.

We generalize the Malgrange preparation theorem to matrix valued functions $F(t,x)\in C^{\infty }(\mathbf{R}\times {\mathbf{R}}^n)$ satisfying the condition that $t\mapsto \det F(t,0)$ vanishes to finite order at $t=0$. Then we can factor $F(t,x)=C(t,x)P(t,x)$ near (0,0), where $C(t,x)\in C^{\infty }$ is inversible and $P(t,x)$ is polynomial function of $t$ depending $C^{\infty }$ on $x$. The preparation is (essentially) unique, up to functions vanishing to infinite order at $x=0$, if we impose some additional conditions on $P(t,x)$. We also have a generalization of the division theorem, and analytic versions generalizing the Weierstrass preparation and division theorems.

[1] N. Dencker, The Propagation of Polarization in Double Refraction, J. Funct. Anal., 104 (1992), 414-468. | MR | Zbl

[2] L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I-IV, Springer-Verlag, Berlin, 1983-1985. | Zbl

[3] B. Malgrange, Le théorème de préparation en géométrie différentiable, Séminaire H. Cartan, 15, 1962-1963, Exposés 11, 12, 13, 22. | Numdam | Zbl

[4] B. Malgrange, The preparation theorem for differentiable functions, Differential Analysis, 203-208, Oxford University Press, London, 1964. | MR | Zbl

[5] B. Malgrange, Ideals of differentiable functions, Oxford University Press, London, 1966. | Zbl

[6] J. Mather, Stability of C∞ mappings : I. The division theorem, Ann. of Math., 87 (1968), 89-104. | MR | Zbl

[7] J. Mather, Stability of C∞ mappings, III : Finitely determined map-germs, Publ. Math. I.H.E.S., 35 (1968), 127-156. | Numdam | MR | Zbl

[8] L. Nirenberg, A proof of the Malgrange preparation theorem, Springer Lecture Notes in Math., 192 (1971), 97-105. | MR | Zbl

[9] B. L. Van Der Waerden, Algebra II, 5 Aufl., Springer-Verlag, Berlin, 1967. | MR | Zbl