On integer points in polygons

Skriganov, Maxim

Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 2, pp. 313-323.

Le phénomène de termes d’erreur anormalement petits dans le problème des points entiers dans un polygone est étudié en dimension 2. Pour des polygones irrationnels, les erreurs sont exprimées en termes de propriétés diophantiennes des pentes des côtés. Il en résulte pour le nombre de points entiers dans le dilaté de rapport $t,t\to \infty$, de certaines classes de polygones irrationnels que le terme d’erreur est borné $\ll \ell n^q$ avec $q>0$ ou comme $\ll t^{\epsilon }$ avec $\epsilon >0$ arbitraire.

The phenomenon of anomaly small error terms in the lattice point problem is considered in detail in two dimensions. For irrational polygons the errors are expressed in terms of diophantine properties of the side slopes. As a result, for the $t$-dilatation, $t\to \infty$, of certain classes of irrational polygons the error terms are bounded as $\ll \ell n^{q}t$ with some $q>0$, or as $\ll t^{\epsilon }$ with arbitrarily small $\epsilon >0$.

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