Caractères des algèbres de Banach involutives

Guichardet, Alain

Annales de l'Institut Fourier, Tome 13 (1963) no. 1, pp. 1-81.

Dans un premier chapitre on introduit, pour les algèbres de Banach involutives, les notions de caractères et de représentations factorielles normales de façon à obtenir une correspondance satisfaisante entre ces deux sortes d’objets ; dans le cas d’un groupe localement compact $G$, en considérant la $C^{*}$-algèbre de $G$, on obtient une notion au moins aussi large (et même strictement plus large dans certains exemples construits au chapitre II) que celle qui avait été introduite par R. Godement.

Le chapitre I contient aussi quelques résultats reliant la structure borélienne définie par J.A. Ernest sur l’ensemble des classes de quasi-équivalence de représentations factorielles et une structure borélienne qui s’introduit naturellement sur l’ensemble des caractères.

Le chapitre II est consacré à l’étude des représentations unitaires factorielles normales (et plus particulièrement, factorielles de type fini et irréductibles normales) de certains groupes, produits semi-directs non réguliers au sens de G.W. Mackey ; l’étude détaillée d’un exemple permet enfin de répondre par la négative à un certain nombre de conjectures naturelles.

[1] N. Bourbaki, Intégration, Act. Sc. Ind., n° 1175 et 1244, Paris, Hermann, 1952 et 1956.

[2] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Act. Sc. Ind., n° 1189 et 1229, Paris, Hermann, 1953 et 1955.

[3] P. J. Cohen, Factorization in group algebras, Duke Math. J., t. 26, 1959, pp. 199-205. | MR | Zbl

[4] J. Dixmier, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien, Cahiers Scientifiques, fasc. 25, Paris, Gauthier-Villars, 1957. | Zbl

[5] J. Dixmier, Sur les C*-algèbres, Bull. Soc. Math. France, t. 88, 1960, pp. 95-112. | Numdam | MR | Zbl

[6] J. Dixmier, Sur les structures boréliennes du spectre d'une C*-algèbre, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., n° 6, 1960. | Numdam | MR | Zbl

[7] J. Dixmier, Dual et quasi-dual d'une algèbre de Banach involutive (à paraître). | Zbl

[8] J. A. Ernest, A decomposition theory for unitary representations of locally compact groups (à paraître). | Zbl

[9] J. M. G. Fell, The dual spaces of C*-algebras, Trans. Amer. Math. Soc., t. 94, 1960, pp. 365-403. | MR | Zbl

[10] J. M. G. Fell, C*-algebras with smooth duals, Illinois J. Math., t. 4, 1960, pp. 221-230. | MR | Zbl

[11] J. Glimm, A. STONE-Weierstrass theorem for C*-algebras, Ann. Math., t. 72, 1960, pp. 216-244. | MR | Zbl

[12] J. Glimm, Type I C*-algebras, Ann. Math., t. 73, 1961, pp. 572-612. | MR | Zbl

[13] R. Godement, Sur la théorie des représentations unitaires, Ann. Math., t. 53, 1951, pp. 68-124. | MR | Zbl

[14] R. Godement, Théorie des caractères II, Ann. Math., t. 59, 1954, pp. 63-85. | MR | Zbl

[15] A. Guichardet, Une caractérisation des algèbres de von Neumann discrètes, Bull. Soc. Math. France., t. 89, 1961, pp. 77-101. | Numdam | MR | Zbl

[16] A. Guichardet, Sur les représentations factorielles des C*-algèbres, C. R. Acad. Sc., t. 252, 1961, pp. 1088-1089. | MR | Zbl

[17] A. Guichardet, Sur les caractères des algèbres de Banach à involution, C. R. Acad. Sc., t. 252, 1961, pp. 2800-2802. | MR | Zbl

[18] A. Guichardet, Représentations unitaires de certains produits semi-directs, C. R. Acad. Sc., t. 253, 1961, pp. 48-50. | MR | Zbl

[19] A. Guichardet, Sur les structures boréliennes du dual et du quasi-dual d'une C*-algèbre, C. R. Acad. Sc. t. 253, 1961, pp. 2030-2032. | MR | Zbl

[20] P. R. Halmos, Lectures on ergodic theory, Math. Soc. Japan, 1956. | MR | Zbl

[21] E. Hopf, Ergodentheorie, Berlin, J. Springer, 1937. | Zbl

[22] I. Kaplansky, The structure of certain operator algebras, Trans. Amer. Math. Soc., t. 70, 1951, pp. 219-255. | MR | Zbl

[23] M. Loéve, Probability theory, Van Nostrand Company 1955.

[24] L. H. Loomis, An introduction to abstract harmonic analysis, Van Nostrand Company, 1953). | MR | Zbl

[25] G. W. Mackey, Imprimitivity for representations of locally compact groups, I. Proc. Nat. Acad. Sc., t. 35, 1949, pp. 537-545. | MR | Zbl

[26] G. W. Mackey, On induced representations of groups, Amer. J. Math., t. 73, 1951, pp. 576-592. | MR | Zbl

[27] G. W. Mackey, Induced representations of locally compact groups, Ann. Math., t. 55, 1952, pp. 101-139. | MR | Zbl

[28] G. W. Mackey, Borel structures in groups and their duals, Trans. Amer. Math. Soc., t. 85, 1957, pp. 134-165. | MR | Zbl

[29] F. J. Murray and J. Von Neumann, On rings of operators, Ann. Math., t. 37, 1936, pp. 116-229. | JFM | Zbl

[30] N. A. Naimark, Normed rings, Groningen, Noordhoff, 1959. | Zbl

[31] M. A. Naimark, Factor representations of a locally compact group, Soviet Math. Doklady, 1960, pp. 1064-1066. | MR | Zbl

[32] N. Nakamura, The two-sided representations of an operator algebra, Proc. Japan. Acad., t. 27, 1951, pp. 172-176. | MR | Zbl

[33] L. Pukanszky, Some examples of factors, Publ. Math., t. 4, 1956, pp. 135-156. | MR | Zbl

[34] C. E. Rickart, General theory of Banach algebras, Van Nostrand Company, 1960. | MR | Zbl

[35] I. E. Segal, An extension of Plancherel's formula to separable unimodular groups, Ann. Math., t. 52, 1950, pp. 272-292. | MR | Zbl

[36] I. E. Segal, A class of operator algebras which are determined by groups, Duke Math. J., t. 18, 1951, pp. 221-265. | MR | Zbl

[37] O. Takenouchi, Sur une classe de fonctions continues de type positif sur un groupe localement compact, Math. J. Okayama Univ., t. 4, 1955, pp. 143-173. | MR | Zbl

[38] T. Turumaru, Crossed-product of operator algebras, Tôhoku Math. J., t. 10, 1958, pp. 355-365. | MR | Zbl