Normes de Sobolev et convoluteurs bornés sur $L^2\left(G\right)$

Jolissaint, P.; Valette, A.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 41 (1991) no. 4, pp. 797-822.

Un groupe localement compact $G$ muni d’une fonction-longueur $L$ a la propriété $\left(DR\right)$ par rapport à $L$ si toute fonction à décroissance rapide sur $G$ définit un convoluteur borné sur $L^2\left(G\right)$. Nous donnons une condition suffisante assez générale pour que le couple $(G,L)$ ait la propriété $\left(DR\right)$. Pour un tel couple, nous caractérisons les fonctions de type positif sur $G$ faiblement associées à la représentation régulière gauche et, dans le cas discret, nous considérons les propriétés d’approximation de l’algèbre de Fourier de $G$.

A locally compact groupe $G$ equipped with a length-function $L$ has property $\left(RD\right)$ with respect to $L$ is any rapidly decreasing function on $G$ defines a bounded convolver on $L^2\left(G\right)$. We give a fairly general sufficient condition forthe pair $(G,L)$ to have property $\left(RD\right)$. For such a pair, we characterize positive definite functions on $G$ that are weakly associated to the left regular representation and, in the discrete case, we deal with approximation properties of the Fourier algebra of $G$.

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