Sur certains sous-ensembles de l'espace euclidien

Charbonnel, Jean-Yves

Annales de l'Institut Fourier, Tome 41 (1991) no. 3, pp. 679-717.

Soit ${\widetilde{𝒜}}_m$ l’algèbre des fonctions sur ${\mathbf{R}}^n$ engendrée par les fonctions polynomiales et les exponentielles de formes linéaires. La partie $S$ de ${\mathbf{R}}^n$ appartient à ${𝒫}_n$ si et seulement s’il existe $m$ et $F$ dans ${\widetilde{𝒜}}_{n+m}$ pour lesquels $S$ est l’image par la projection canonique de ${\mathbf{R}}^{n+m}$ sur ${\mathbf{R}}^n$, de l’ensemble des zéros de $F$. Soit ${\widetilde{𝒫}}_n$ le plus petit sous-ensemble de parties de ${\mathbf{R}}_n$ qui contient ${𝒫}_n$, l’adhérence de ses éléments et les images par la projection canonique de ${\mathbf{R}}^n$ qui contient ${𝒫}_n$, l’adhérence de ses éléments et les images par la projection canonique de ${\mathbf{R}}^{n+m}$ sur ${\mathbf{R}}^n$, des éléments de ${\widetilde{𝒫}}_{n+m}$. Le but principal de ce mémoire est de montrer que pour tout $n$, ${\widetilde{𝒫}}_n$ est stable par intersection finie, par réunion finie et par passage complémentaire.

Let ${\widetilde{𝒜}}_m$ be the algebra of functions on ${\mathbf{R}}^m$ generated by polynomial functions and exponentials of linear forms. The subset $S$ in ${\mathbf{R}}^n$ belongs to ${𝒫}_n$ if and only if there exist $m$ and $F$ in ${\widetilde{𝒜}}_{n+m}$ for which $S$ is the image of the zerosubset of $F$ by the canonical projection of ${\mathbf{R}}^{n+m}$ onto ${\mathbf{R}}^n$. Let ${\widetilde{𝒫}}_n$ be the smallest subset of parts in ${\mathbf{R}}^n$ which contains ${𝒫}_n$, their closures and the images by the canonical projection of the elements in ${\widetilde{𝒫}}_{n+m}$. The main goal of this article is to prove that ${\widetilde{𝒫}}_{n+m}$ contains the complementary part of each element in ${\widetilde{𝒫}}_{n+m}$, the union and the intersection of every finite family in ${\widetilde{𝒫}}_{n+m}$.

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