Résidus des sous-variétés invariantes d'un feuilletage singulier

Lehmann, Daniel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 41 (1991) no. 1, pp. 211-258.

Une formule de résidus est demontrée pour les classes caractéristiques de degré suffisamment grand du fibré normal à une sous variété lisse $V$ d’une variété $W$, invariante relativement à un feuilletage avec singularités dans $W$. En particulier, dans le cas analytique complexe, et pour les feuilletages dont les feuilles sont de dimension complexe 1, les nombres de Chern du fibre normal à la sous-variété $V$ sont calculés en termes de résidus de Grothendieck, par une formule qui généralise au cas de dimensions complexes arbitraires, $p$ pour $V$ et $p+q$ pour $W$, les résidus de Camacho-Sad correspondant au cas $p=q=1$. En fait, une formule plus générale est demontrée, qui coiffe aussi celle des résidus de Baum-Bott pour les nombres de Chern d’une variété holomorphe munie d’un champ de vecteurs holomorphe à singularités isolées. Divers exemples sont calculés, lorsque $V$ est le diviseur exceptionnel de l’éclatement d’un germe de champ de vecteurs au voisinage d’un point singulier.

A residue formula is shown for higher dimensional characteristic classes of the normal bundle to some smooth submanifold $V$ of a manifold $W$, invariant with respect to some foliation with singularities on $W$.

In particular, in the complex analytical case, and for foliations with complex dimension 1 of the leaves, the Chern numbers of the normal bundle to the submanifold $V$ are computed in terms of residues of Grothendieck, by mean of a formula which generalizes to the case of arbitrary complex dimensions, $p$ for $V$ and $p+q$ for $W$, the residues of Camacho-Sad corresponding to the case $p=q=1$. In fact, a more general formula is proved, which covers also the Baum-Bott residues for the Chern numbers of an holomorphic manifold with an holomorphic vector field having only isolated singularities.

Various examples are computed in the case where $V$ is the exceptional divisor for the blowing-up of a germ of vector field near a singular point.

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