Régularité conormale classique des problèmes de Cauchy et de réflexion transverse pour un système $2\times 2$ semi-linéaire

Nadir, B.; Varenne, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) no. 4, pp. 849-866.

On considère un système semi-linéaire du premier ordre de taille $2\times 2$ dans un ouvert de ${ℝ}^n$, une hypersurface $S$ non caractéristique et une hypersurface $\Gamma$ de $S$. On suppose que, par $\Gamma$, passent deux hypersurfaces caractéristiques ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$ transverses et que les bicaractéristiqiues sur ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$ sont transverses à $\Gamma$. Soit $u$ une solution dans une demi-région $\Omega$ délimitée par $\sigma$. On suppose que $u$ est la restriction à $\Omega$ d’une distribution conormale par morceaux par rapport à ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$. Pour le problème de Cauchy, on montre que si la trace de $u$ sur $S$ est classique par rapport à $\Gamma$, alors $u$ est classique par rapport à ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$. Pour le problème de Cauchy, on montre que si la trace de $u$ sur $S$ est classique par rapport à $\Gamma$, alors $u$ est classique par rapport ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$. Pour le problème aux limites hyperbolique à données au bord sur $S$ vérifiant la condition de Lopatinski uniforme, on montre que si cette donnée est classique par rapport à $\Gamma$ et si $u$ est classique par rapport à ${\Sigma }_1$, supposée sortante, alors $u$ est classique par rapport à l’hypersurface (réfléchie) ${\Sigma }_2$.

We consider a first order semilinear two by two system in an open set of ${ℝ}^n$, a non-characteristic hypersurface $S$ and an hypersurface $\Gamma$ of $S$. We suppose that through $\Gamma$, there are exactly two characteristic transversal hypersurfaces ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$ and that the bicharacteristics on ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$are transversal to $\Gamma$. We suppose that $u$ is a solution in $\Omega$, one of the two half-spaces delimited by $S$ and that $u$ is the restriction of $\Omega$ to a piecewise conormal distribution relatively to ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$. For the Cauchy problem, we show that if the trace of $u$ on $S$ is classical relatively to $\Gamma$, so $u$ is classical relatively to ${\Sigma }_1$ and ${\Sigma }_2$. For the boundary value hyperbolic problem with boundary condition on $S$, satisfying uniform Lopatinski condition, we show that if the boundary condition is classical relatively to $\Gamma$ and if $u$ is classical relatively to ${\Sigma }_1$, supposed outgoing, then $u$ is classical relatively to the reflected hypersurface ${\Sigma }_2$.

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[2] J. Chazarain et A. Piriou, Introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles, Gauthier-Villars, Paris, 1981. | MR | Zbl

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[7] A. Piriou et J.-P. Varenne, Ondes semi-linéaires discontinues conormales par morceaux, Note aux C.R.A.S. de Paris, t. 311, série I (1990), 607-610. | MR | Zbl

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