Bouts d'un groupe opérant sur la droite, I : théorie algébrique

Meigniez, Gaël-Nicolas

Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) no. 2, pp. 271-312.

On étudie les morphismes d’un groupe infini discret $\Pi$ dans un groupe de Lie $G$ contenu dans le groupe des difféomorphismes de la droite réelle. À un tel morphisme $H$, on associe deux ensembles de “bouts” de $\Pi$ “dans la direction” $H$. On calcule le nombre de bouts dans plusieurs situations. Dans le cas particulier où $\Pi$ est de type fini et où $G$ est le groupe des translations, $\Pi$ n’a qu’un bout dans la direction $H$ si, et seulement si, ils vérifient la propriété de Bieri-Neumann-Strebel.

This paper is about morphisms from an infinite discrete group $\Pi$ into a Lie subgroup $G$ of the group of diffeomorphisms of the real line. To such a morphism $H$, are associated two sets of “ends” of $\Pi$ “in the direction” $H$. The number of ends is calculated in various situations. In the particular case where $\Pi$ is finitely generated and where $G$ is the group of translations, $\Pi$ has only one end in direction $H$ if and only if they verify Bieri-Neumann-Strebel’s property.

[BNS] R. Bieri, W. D. Neumann, R. Strebel, A geometric invariant of discrete groups, Invent. Math., 90 (1987), 451-477. | MR | Zbl

[Br] K. S. Brown, Trees, valuations, and the Bieri-Neumann-Strebel invariant, Invent. Math., 90 (1987), 479-504. | MR | Zbl

[C] D. E. Cohen, Groups of cohomological dimension 1, L.N.M. 245, Springer (1972). | MR | Zbl

[M] G. Meigniez, Bouts des groupes opérant sur la droite, II : application à la topologie des feuilletages. Preprint.

[Se] J.-P. Serre, Arbres, amalgames, SL2, Astérisque, 46. | Numdam | Zbl

[Si] J.-C. Sikorav, Homologie de Novikov attachée à une classe de cohomologie réelle de degré 1, In Thèse, Orsay (1987).