Algorithme de calcul du polynôme de Bernstein : Cas non dégénéré

Briançon, Joël; Granger, Michel; Maisonobe, Philippe; Miniconi, M.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 3, pp. 553-610.

Nous commençons par indiquer comment la connaissance du degré d’un opérateur différentiel, unitaire en $s$ et annulant $f^s$, permet de donner un algorithme de calcul du polynôme de Bernstein d’un germe $f$ de fonction analytique à singularité isolée.

Nous étudions alors le cas d’une singularité non dégénérée par rapport à son polygôme de Newton; nous donnons un algorithme pour calculer le polynôme de Bernstein de ces singularités et l’équation fonctionnelle associée. Notre méthode utilise une filtration proche de la filtration de Newton et un théorème de division adaptée. Les racines du polynôme de Bernstein sont alors données naturellement comme des poids par rapport a cette filtration.

Nous donnons des exemples de calcul et déterminons le polynôme de Bernstein générique d’une singularité semi-quasi-homogène.

We begin by showing that, given the degree of a differential operator unitary in $s$ and nullifying $f^s$, an algorithm computing the Bernstein’s polynomial of a germ $f$ of an analytical function with isolated singularity can be derived.

We then study the case of a non degenerated singularity with respect to its Newton boundary; we give an algorithm to compute the Bernstein’s polynomial of these singularities as well as the associated functional equation. Our method uses a filtration close to Newton’s and an appropriata division theorem. The roots of the Bernstein’s polynomial are then given naturally as weights with respect to that filtration.

We give some examples of computation and we find the generic Bernstein’s polynomial of a semi-quasi-homogeneous singularity.

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