La décomposition dynamique et la différentiabilité des feuilletages des surfaces

Levitt, Gilbert

Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) no. 3, pp. 85-116.

Soit $ℱ$ un feuilletage singulier d’une surface compacte $M$. Pour analyser la dynamique de $ℱ$, on décompose $M$ de façon canonique en sous-surfaces bordées par des courbes transverses à $ℱ$ : les composantes de la récurrence de $ℱ$ (ensembles quasiminimaux) sont contenues dans les “régions de récurrence” et peuvent être étudiées séparément; par contre dans les autres régions, dites “régions de passage”, la dynamique est triviale. On propose ensuite une définition des feuilletages singuliers de classe $C^r$ sur les surfaces, et on étudie quelles restrictions l’hypothèse que $ℱ$ est $C^2$ (ou $C^{\infty }$) impose à la topologie et à la dynamique du feuilletage.

Let $ℱ$ be a singular foliation on a compact surface $M$. In order to analyse the dynamics of $ℱ$, one can canonically cut up $M$ into subsurfaces bounded by curves transverse to $ℱ$: the components of the recurrence of $ℱ$ (quasiminial sets) are contained in the “regions of recurrence” and may be studied separately; on the other hand, the dynamics is trivial in the other regions (“regions of passage”). The paper also offers a definition of a singular foliation of classe $C^r$ on $M$, and studies the topological and dynamical features of $C^2$ (or $C^{\infty }$) on $M$, and studies the topological and dynamical features of $C^2$ (or $C^{\infty }$) foliations.

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