Sur un problème extrémal en arithmétique

Tenenbaum, Gérald

Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) no. 2, pp. 1-18.

Soit $N$ un nombre entier. On développe ici une méthode générale fournissant un équivalent asymptotique de la somme “courte”

$$\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{d|N}{x\le d\le x+y}}1$$

sous certaines conditions relatives à $N,x,y$. Plusieurs applications sont traitées, notamment la preuve d’une conjecture d’Erdös relative à la répartition des diviseurs de $k$!

Let $N$ denote a positive integer. The paper is devoted to a general method leading to an asymptotic formula for the “short” sum

$$\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{d|N}{x\le d\le x+y}}1$$

under certain conditions on $N,x,y$. Several applications are given, among which the proof of a conjecture of Erdös concerning the divisors of $k$!

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