Non prolongement unique des solutions d'opérateurs «somme de carrés»

Bahouri, Hajer

Annales de l'Institut Fourier, Tome 36 (1986) no. 4, pp. 137-155.

Dans ce travail, nous avons montré que si $P={\sum }_{i=1}^{n-1}{x}_i^2$, où les $x_i$ sont des champs de vecteurs $C^{\infty }$ linéairement independants dans un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$ tels que l’algèbre de Lie qu’ils engendrent soit de rang maximum en tout point et la forme volume qu’on leur associe soit de classe 4 en un point $x_0$ de $\Omega$, alors il existe un voisinage ouvert $V$ de $x_0$ et une fonction $a\in C^{\infty }\left(V\right)$ tels que $P+a$ possède pas la propriété de prolongement unique.

Let $\left(x_i\right)$, $i=1,...,n-1$ be $C^{\infty }$ linearly independent vector fields on an open set $\Phi$ of ${\mathbf{R}}^n$. Assume that the Lie algebra generated by these fields is of maximal rank at every point of $\Omega$ and that the volume form associated to them is of class 4 at a point $x_0$ of $\Omega$. We show then that if $P$ is the operator $P={\sum }_{i=1}^{n-1}{x}_i^2$, there exists an open neighborhood $V$ of $x_0$ and a function $a\in C^{\infty }\left(V\right)$ such that $P+a$ does not enjoy the uniqueness extension property.

[1] R. Abraham and J. E. Marsden, Foundations of Mechanics, The Benjamin, Cummings Publishing Company.

[2] S. Alinhac, Non unicité du problème de Cauchy pour des opérateurs de type principal. Sém. Goulaouic-Schwartz, exposé n° 16, École Polytechnique, Paris (Mars 1981). | Numdam | Zbl

[3] S. Alinhac et C. Zuily, Unicité et non unicité du problème de Cauchy pour des opérateurs à caractéristiques doubles, Comm. in P.D.E., 6 (7) (1981), 799-828. | MR | Zbl

[4] H. Bahouri, Unicité et non unicité du problème de Cauchy pour des opérateurs à symbole principal réel. Thèse de 3e cycle à Orsay (1982) et article à paraître.

[5] J. M. Bony, Principe du maximum, inégalité de Harnack et unicité du problème de Cauchy pour les opérateurs elliptiques dégénérés, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 19-1 (1969), 277-304. | Numdam | MR | Zbl

[6] P. Cohen, The non uniqueness of the Cauchy problem, O. N. Techn. Report 93, Stanford 1960.

[7] C. Godbillon, Géométrie différentielle et mécanique analytique, Hermann. | Zbl

[8] L. Hörmander, Linear partial differential operators, Springer Verlag, 1963. | Zbl

[9] L. Hörmander, Non uniqueness for the Cauchy problem, Lecture Notes in Math., Springer Verlag, n° 459 (1975), 36-72. | MR | Zbl

[10] L. Hörmander, Hypoelliptic second order differential equations. Acta Math. Uppsala, 119 (1967), 147-171. | MR | Zbl

[11] P. Malliavin, Géométrie différentielle intrinsèque, Hermann. | Zbl

[12] A. Pliš, The problem of uniqueness for the solution of a system of partial differential equations, Bull. Acad. Pol. Sci., 2 (1954), 55-57. | MR | Zbl

[13] A. Pliš, Non uniqueness in Cauchy's problem for differential equations of elliptic type, J. Math. Mech., 9 (1960), 557-562. | MR | Zbl

[14] K. Watanabe, L'unicité du prolongement des solutions elliptiques dégénérées, Tohoku Math. Journal, 34 (1982), 239-249. | MR | Zbl