Racines de polynômes de Bernstein

Cassou-Noguès, Pierrette

Annales de l'Institut Fourier, Tome 36 (1986) no. 4, pp. 1-30.

On considère un polynôme $P$, à coefficients réels non négatifs, à deux indéterminées. On montre que la connaissance des pôles des intégrales

$${\int }_0^1{\int }_0^1{x}_1^{{\beta }_1-1}{x}_2^{{\beta }_2-1}P(x_1,x_2{)}^{s}d{x}_{1}d{x}_2$$

donne des renseignements sur les racines du polynômes de Bernstein de $P$. La détermination des pôles des intégrales peut se faire en utilisant certaines méthodes de Mellin. Des calculs explicites sont donnés.

Let $P$ be a polynomial with non negative real coefficients, in two indeterminates. One shows that the knowledge of the poles of the integrals

$${\int }_0^1{\int }_0^1{x}_1^{{\beta }_1-1}{x}_2^{{\beta }_2-1}P(x_1,x_2{)}^{s}d{x}_{1}d{x}_2$$

gives some of the roots of the Bernstein polynomial of $P$. One can calculate poles of these integrals using some Mellin’s methods. Some explicit computations are given.

[1] V. Arnold, On some problems in singularity theory, Geometry and Analysis, Papers dedicated to the memory of V. K. Patodi, Springer Verlag, 1981. | Zbl

[2] I. N. Bernstein, Feasibility of the analytic continuation fλ+ for certain polynomials f translated from Funktsional'nyi Analiz i Ego Prilozheniya, vol. 2, n° 1, p. 92-93, January-March 1968. | MR | Zbl

[3] P. Cassou-Noguès, Séries de Dirichlet et intégrales associées à un polynôme à deux indéterminées, Journal of Number Theory, Vol. 23, n° 1 (1986), 1-54. | MR | Zbl

[4] M. Kashiwara, B functions and holonomic systems, Rationality of roots of b functions, Invent. Math., (1976-1977), 33-53. | EuDML | Zbl

[5] B. Malgrange, Le polynôme de Bernstein d'une singularité isolée, Lecture Notes in Math., vol. 459, Springer Verlag 1975, 98-119. | MR | Zbl

[6] T. Yano, On the theory of b-functions, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 14 (1978), 111-202. | MR | Zbl

[7] T. Yano, b-functions and exponents of hypersurface isolated singularities, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 40 (1983), Part. 2. | MR | Zbl

[8] F. Ehlers et K. Lo, Minimal characteristic exponent of the Gauss-Manin connection of isolated singular point and Newton polyhedron, Math. Ann., 259 (1982), 431-441. | EuDML | MR | Zbl