Translation invariant forms on $L^p\left(G\right)(1<p<\infty )$

Bourgain, Jean

Annales de l'Institut Fourier, Tome 36 (1986) no. 1, pp. 97-104.

Soit $G$ un groupe abélien compact métrisable et connexe. On démontre que toute forme linéaire invariante sur $L^p\left(G\right)$, $1<p<\infty$, est continue et donc un multiple scalaire de la mesure de Haar. Ce résultat étend un théorème dû à Meisters et Schmidt (J. Funct. Anal. 13 (1972), 407–424), pour l’espace $L^2\left(G\right)$. En fait la méthode s’applique à n’importe quel treillis invariant superréflexif de fonctions sur $G$, et c’est ce point de vue qu’on adopte. Nous étudions la représentation d’une fonction $f$ dans cet espace fonctionnel $X$ ($f$ de moyenne nulle) comme somme finie d’éléments $g-\tau \left(a\right)g$ pour $g\in X$ et $a\in G$ où $\tau \left(a\right)$ est l’opérateur de translation. Notre approche consiste à borner certaines opérateurs de convolution aléatoires par des méthodes d’interpolation.

It is shown that if $G$ is a connected metrizable compact Abelian group and $1<p<\infty$, any (possibly discontinuous) translation invariant linear form on $L^p\left(G\right)$ is a scalar multiple of the Haar measure. This result extends the theorem of G.H. Meisters and W.M. Schmidt (J. Funct. Anal. 13 (1972), 407-424) on $L^2\left(G\right)$. Our method permits in fact to consider any superreflexive translation invariant Banach lattice on $G$, which is the adopted point of view. We study the representation of an element $f$ of this invariant lattice $X$ as a sum of a bounded number of elements of the form $g-\tau \left(a\right)g$, where $g$ in $X$, $a$ in $G$ and $\tau \left(a\right)$ the corresponding translation operator. Our approach consists in proving the boundedness of certain random convolution operators using interpolation techniques.

[1] A. Connes, Private communication.

[2] B. Johnson, A proof of the translation invariant form conjecture for L²(G), Bull. de Sciences Math., 107, n° 3, (1983), 301-310. | MR | Zbl

[3] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach spaces II, Springer, 97 (1979). | MR | Zbl

[4] G.H. Meisters, W.M. Schmidt, Translation invariant linear forms on L²(G) for compact Abelian group G, J. Funct. Anal., n° 13, (1972), 407-424. | Zbl

[5] G. Pisier, Some applications of the complex interpolation method to Banach lattices, J. d'Analyse Math. de Jérusalem, Vol 35 (1979), 264-281. | MR | Zbl

[6] J. Bergh, J. Lofström, Interpolation Spaces. | Zbl