Champs magnétiques et inégalités de Morse pour la $d^{\text{'}\text{'}}$-cohomologie

Demailly, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 4, pp. 189-229.

Nous démontrons des inégalités de Morse-Witten asymptotiques pour la dimension des groupes de cohomologie des puissances tensorielles d’un fibré holomorphe en droites hermitien au-dessus d’une variété $\mathbf{C}$- analytique compacte. La dimension du $q$-ième groupe de cohomologie se trouve ainsi majorée par une intégrale de courbure intrinsèque, étendue à l’ensemble des points d’indice $q$ de la forme de courbure du fibré. La preuve repose sur un théorème spectral qui décrit la distribution asymptotique des valeurs propres de l’opérateur de Schrödinger associé à un champ magnétique assez grand. Comme application, nous obtenons une nouvelle démonstration de la conjecture de Grauert-Riemenschneider sur la caractérisation des espaces de Moisezon, résolue récemment par Siu, sous des hypothèses géométriques plus générales qui n’exigent pas nécessairement la semi-positivité ponctuelle du fibré.

We prove asymptotic Morse-Witten inequalities for the dimension of cohomology groups of tensor powers of a holomorphic hermitian line bundle over a compact complex manifold. The dimension of the $q$-th cohomology group is shown to be bounded above by an intrinsic curvature integral, extended to the set of points of index $q$ with respect to the bundle curvature form. The proof rests upon a spectral theorem which describes the asymptotic distribution of the eigenvalues of the Schrödinger operator associated to a large magnetic field. As an application, we find a new proof of the Grauert-Riemanschneider conjecture on the characterization of Moisezon spaces, recently solved by Siu, under more general geometric assumptions which do not necessarily require the bundle pointwise semi-positivity.

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