A Liouville theorem for plurisubharmonic currents

Elkhadhra, Fredj; Mimouni, Souad

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. 3-4, pp. 651-674.

Le but de ces papiers est d’étendre les concepts de courants algébrique et Liouville précédemment définis pour les courants positifs fermés par M. Blel, S. Mimouni et G. Raby aux courants psh sur ${ℂ}^n$. Nous étudions alors la croissance de la masse projective des courants positifs définis sur ${ℂ}^n$ dont le support est contenu dans un voisinage tubulaire d’une sous-variété algébrique. Ensuite, nous donnons une condition suffisante, garantissant qu’un courant négatif et psh soit Liouville. De plus, on montre que tout courant négative psh et algébrique est Liouville. Dans le cas particulier des courants fermés, et sous des conditions adéquates sur le support, nous obtenons un théorème de structure.

The goal of this paper is to extend the concepts of algebraic and Liouville currents, previously defined for positive closed currents by M. Blel, S. Mimouni and G. Raby, to psh currents on ${ℂ}^n$. Thus, we study the growth of the projective mass of positive currents on ${ℂ}^n$ whose support is contained in a tubular neighborhood of an algebraic subvariety. We also give a sufficient condition guaranteeing that a negative psh current is Liouville. Moreover, we prove that every negative psh algebraic current is Liouville. For the particular case of closed currents, under adequate support conditions, we obtain a structure theorem.

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