Moyennes harmoniques

Alcalde Cuesta, Fernando

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. 3-4, pp. 493-512.

Nous introduisons une notion de moyenne harmonique pour une marche aléatoire sur une relation d’équivalence mesurée graphée, qui généralise la notion classique de moyenne invariante. Pour les graphages à géométrie bornée, une telle moyenne existe toujours. Nous prouvons qu’une moyenne harmonique devient invariante lorsque la marche aléatoire sur presque toute orbite jouit de bonnes propriétés asymptotiques telles que la propriété de Liouville ou la récurrence.

We introduce a notion of stationary mean for random walks on graphed measured equivalence relations, which generalizes the classical notion of invariant mean. For graphings of bounded geometry, such mean always exists. We prove that any stationary mean becomes invariant if the random walk on a.e. orbit has good asymptotic properties such as triviality of Poisson boundary or recurrence.

[1] Adams (S.).— Trees and amenable equivalence relations. Ergodic Theory Dynam. Systems, 10, p. 1-14 (1990). | MR | Zbl

[2] Alcalde Cuesta (F.), Bermúdez (M.).— Une remarque sur les relations d’équivalence graphées, munies de mesures harmoniques. C. R. Acad. Sci. Paris, 332, p. 637-640 (2001). | MR | Zbl

[3] Alcalde Cuesta (F.), Fernández de Córdoba (M. P.).— Nombre de branchement d’un pseudogroupe. À paraître dans Monatshefte für Mathematik. DOI 10.1007/s00605-010-0230-z.

[4] Anantharaman-Delaroche (C.), Renault (J.).— Amenable groupoids. Monographies de L’Enseignement Mathématique, 36. L’Enseignement Mathématique, Genève (2000). | MR | Zbl

[5] Blanc (E.).— Propriétés génériques des laminations. Thèse UCB-Lyon 1 (2001).

[6] Connes (A.), Feldman (J.), Weiss (B.).— An amenable equivalence relation is generated by a single transformation. Ergodic Theory Dynam. Systems, 1, p. 431-450 (1981). | MR | Zbl

[7] Dye (H. A.).— On groups of measure preserving transformations, I. Amer. J. Math., 81, p. 119-1159 (1959). | MR | Zbl

[8] Dye (H. A.).— On groups of measure preserving transformations, II. Amer. J. Math., 85, p. 551-576 (1963). | MR | Zbl

[9] Feldman (J.), Moore (C.).— Ergodic equivalence relations, cohomology and Von Neumann algebras, I. Trans. Amer. Math. Soc., 234, p. 289-324 (1977). | MR | Zbl

[10] Foguel (S. R.).— Iterates if a convolution on a non abelian group. Ann. Inst. Henri Poincaré Section B, 11, p. 199-202 (1975). | Numdam | MR | Zbl

[11] Foguel (S. R.).— Harris operators. Israel J. Math., 33, p. 281-309 (1979). | MR | Zbl

[12] Garnett (L.).— Foliations, The Ergodic Theorem and Brownian Motion. J. Funct. Anal., 51, p. 285-311 (1983). | MR | Zbl

[13] Greenleaf (F. P.).— Invariant means on topological groups. Van Nostrand Math. Studies 16, Van Nostrand, New York (1969). | MR | Zbl

[14] Kaimanovich (V. A.).— Brownian motion on foliations : entropy, invariant measures, mixing. Funct. Anal. Appl., 22, p. 326-328 (1988). | MR | Zbl

[15] Kaimanovich (V. A.).— Amenability, hyperfiniteness, and isoperimetric inequalities. C. R. Acad. Sc. Paris, 325, p. 999-1004 (1997). | MR | Zbl

[16] Kaimanovich (V. A.).— Hausdorff dimension of the harmonic measure on trees. Ergodic Theory Dynam. Systems, 18 (1998), 631-660. | MR | Zbl

[17] Kaimanovich (V. A.).— Equivalence relations with amenable leaves need not be amenables. Amer. Math. Soc. Transl., 202, 151-166 (2001). | MR | Zbl

[18] Kaimanovich (V. A.).— Amenability and the Liouville property. Israel J. Math., 149, p. 45-85 (2005). | MR | Zbl

[19] Kaimanovich (V. A.), Vershik (A. M.).— Random walks on discrete groups : boundary and entropy. Ann. Probab., 11, p. 457-490 (1983). | MR | Zbl

[20] Krengel (U.).— Ergodic Theorems. Walter de Gruyter, Berlin (1985). | MR | Zbl

[21] Lyons (R.).— Random walks and percolation on trees. Ann. Probab., 18 p. 931-958 (1990). | MR | Zbl

[22] Meyer (p. A.).— Limites médiales d’après Mokobodzki, in Séminaire de Probabilités VII, Université de Strasbourg. Lecture Notes in Math. 321, Springer, Berlin, p. 198-204 (1973). | Numdam | MR | Zbl

[23] Nash-Willliams (C. St. J. A.).— Random walks and electric currents in networks. Proc. Cambridge Philos. Soc. 55, p. 181-194 (1959). | MR | Zbl

[24] Ornstein (D.), Sucheston (L.).— An operator theorem on $L_1$ convergence to zero with applications to Markov kernels. Ann. Math. Statist., 41, p. 1631-1639 (1970). | MR | Zbl

[25] Paterson (A. L.).— Amenability. American Mathematical Society, Providence (1988). | MR | Zbl

[26] Paulin (F.).— Propriétés asymptotiques des relations d’équivalences mesurées discrètes. Markov Process. Related Fields, 5, p. 163-200 (1999). | MR | Zbl

[27] Samuélidès (M.).— Tout feuilletage à croissance polynomiale est hyperfini. J. Funct. Anal., 34, p. 363-369 (1979). | MR | Zbl

[28] Series (C.).— Foliations of polynomial growth are hyperfinite. Israel J. Math., 34, p. 245-258 (1979). | MR | Zbl

[29] Virág (B.).— On the speed of random walks on graphs. Ann. Probab., 28, p. 379-394 (2000). | MR | Zbl

[30] Zimmer (R. J.).— Hyperfinite factors and amenable ergodic actions. Invent. Math., 41, p. 23-31 (1977). | MR | Zbl

[31] Zimmer (R. J.).— Ergodic Theory and Semisimple Groups. Birkhäuser, Boston (1984). | MR | Zbl