Sur les résidus de Baum-Bott

Dia, El Hadji Malick

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. 2, pp. 363-403.

0n se donne une variété complexe $V$, compacte, de dimension complexe $n$, un champ de vecteurs $v$ holomorphe sur $V$, un fibré vecoriel $E$ de rang $r$ au dessus de $V$ et une $ℂ$-action ${\theta }_v$ sur $E$. Il est bien connu que si $v$ n’a pas de singularité, tous les nombres de Chern $c_I\left(E\right)⌢\left[V\right]$ sont nuls ($\left|I\right|=n$). Si $v$ a des singularités, Bott a démontré que ces nombres de Chern se localisent près de ces singularités donnant lieu à des résidus . Ces résidus ont été calculés d’abord par Bott dans le cas d’une singularité isolée non dégénérée, ensuite par Bott dans le cas d’une sous-variété non dégénérée et enfin, par Baum et Bott dans le cas d’une singularité isolée éventuellement dégénérée. Ce travail fournit une généralisation des résultats précédents en étudiant, sous réserve de quelques hypothèses simplificatrices, le cas d’une sous-variété holomorphe $W$, composante non-singulière du lieu singulier de $v$, éventuellement dégénérée. Quelques exemples sont donnés.

Given a compact complex manifold $V$ of complex dimension $n$, a holomorphic vector-fields $v$ on $V$, a vector bundle $E$ of rank $r$ on $V$, and a $ℂ$-action ${\theta }_v$ on $E$. It is well known that if $v$ has not singularity, all the Chern numbers $c_I\left(E\right)⌢\left[V\right]$ are zero ( $\left|I\right|=n$). If $v$ has singularities, and if there exists a $ℂ$-action ${\theta }_v$ on $E$, Bott has proved that the Chern numbers “localize” near these singularities, giving residues. These residues are computed first, by Bott, in the case of a non degenerate isolated point, then, by Bott, in the case of a non degenerate holomorphic submanifold, at last, by Baum-Bott, in the case of a degenerate isolated point. This work gives a generalization of these results by studying the case of a degenerate holomorphic submanifold. Examples are given.

[1] Baum (P.) and Bott (R.). – On the zeroes of meromorphic vector-fields, In Haefliger A. and Narasimhan Raghavan, editors, Essays on topology and related topics, Mémoires dédiés à Georges de Rham. Springer-Verlag, (1970). | MR | Zbl

[2] Baum (P.) and Bott (R.). – Singularities of holomorphic foliations, J. Differential Geometry, 7 (1972). | MR | Zbl

[3] Bott (R.). – A residue formula for holomorphic vector fields, J. Differential Geometry, 1(3-4) p. 311-330 (1967). | MR | Zbl

[4] Bott (R.). – Vector fields and characteristics numbers, Michigan math J, 14(2), p. 231-244 (1967). | MR | Zbl

[5] Bott (R.). – Lectures on characteristics classes and foliation, Springer. Lecture Notes, 279, (1972). | MR | Zbl

[6] Lehmann (D.). – Classes caractéristiques résiduelles. In Differential Geometry and its Applications, proc. Conf., pages 85-108, Brno, Czechoslovakia, Aug 27-sept 2 (1989), World Scientific, Singapore (1989). | MR | Zbl

[7] Lehmann (D.). – Résidus des sous variétés invariantes d’un feuilletage singulier. Ann. Inst. Fourier, 41(1) p. 211-258 (1991). | Numdam | MR | Zbl

[8] Lehmann (D.). – Systèmes d’alvéoles et intégration sur le complexe de Čech-de Rham. In Publications de l’IRMA, Université de Lille I, N VI, volume 23 (1991).

[9] Lehmann (D.) and Suwa (T.). – Generalization of variations and Baum-Bott residues for holomorphic foliations on singular varieties. International Journal of Mathematics, Vol 10(3) p. 367-384 (1999). | MR | Zbl

[10] Suwa (T.). – Indices of Vector Fields and Residues of Singular Holomorphic Foliations. Hermann, Paris, (1998). | MR | Zbl