Résolution des fibrés généraux stables de rang $2$ sur ${\mathbb{P}}^3$ de classes de Chern $c_1=-1,c_2=2p\ge 6$ : I

Rahavandrainy, Olivier

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. 2, pp. 231-267.

On considère l’espace de modules $M(c_1,c_2)$ des fibrés stables de rang $2$ sur ${\mathbb{P}}_k^3$, de classes de Chern $c_1,c_2$, $k$ étant un corps algébriquement clos de caractéristique quelconque. Si ($c_1=0,c_2>0$) ou ($c_1=-1,c_2=2p\ge 6$), on sait ([7], [9]) que $M(c_1,c_2)$ a une composante irréductible dont le point générique $ℱ(c_1,c_2)$ a la cohomologie naturelle. Nous avons calculé ([16]) la résolution minimale de $ℱ(0,c_2)$. Dans cet article, nous voulons déterminer celle de $ℱ(-1,c_2)$ si ${\displaystyle c_2>\frac{(v+2)(2v^2+3v-1)}{6v+7},}$ où $v$ est le plus petit entier tel que $h^0\left(ℱ\left(v\right)\right)>0$. Par un procédé standard rappelé dans [16], on se ramène à des problèmes de rang maximum qui sont traités par la méthode d’Horace ([11]).

Let $M(c_1,c_2)$ be the moduli space of stable vector bundles of rank $2$ on ${\mathbb{P}}_k^3$, with Chern classes $c_1,c_2$, where $k$ is an algebraically closed field of arbitrary characteristic. If either ($c_1=0,c_2>0$) or ($c_1=-1,c_2=2p\ge 6$), it is shown in [7] and [9] that $M(c_1,c_2)$ has an irreducible component $\mathrm{Ir}(c_1,c_2)$ and the generic point $ℱ(c_1,c_2)$ of $\mathrm{Ir}(c_1,c_2)$ has a natural cohomology. In [16] we calculate the minimal free resolution of $ℱ(0,c_2)$. We want to determine, in this paper, the $ℱ(-1,c_2)$’s one if ${\displaystyle c_2>\frac{(v+2)(2v^2+3v-1)}{6v+7},}$ where $v$ is the least integer such that $h^0\left(ℱ\left(v\right)\right)>0$. By standard method ([16]), we can reduce our problem to rank maximal problems and use the “méthode d’Horace” ([11]).

[1] J. Alexander, A. Hirschowitz Un lemme d’Horace différentiel  : Applications aux singularités des hyperquartiques de ${\mathbb{P}}^5$ J. of Alg. Geom. 1, no 3 411-426 1992. | MR | Zbl

[2] E. Ballico On the postulation of disjoint rational curves in a projective space Rend. Sem. Mat. Univ. Politecn. Torino 44, 2 207-249 1986. | MR | Zbl

[3] E. Ballico Generators for the Homogeneous Ideal of $s$ general points in ${\mathbb{P}}^3$ J. Algebra 106 46-52 1987. | MR | Zbl

[4] D. Eisenbud, A. Vand de Ven On the normal bundles of smooth rational space curves Math. Annal. 256 453 - 463 1981. | MR | Zbl

[5] J. Harris Algebraic Geometry - A first course Springer Verlag 1992. | MR | Zbl

[6] R. Hartshorne Algebraic Geometry Springer Verlag 1977. | MR | Zbl

[7] R. Hartshorne Stable vector bundles of rank 2 on ${\mathbb{P}}^3$ Math. Annal. 238 229-280 1978. | MR | Zbl

[8] R. Hartshorne, A. Hirschowitz Droites en position générale dans l’espace projectif Lecture Notes in Math. 961 1982. | MR | Zbl

[9] R. Hartshorne, A. Hirschowitz Cohomology of a general instanton bundle Ann. Sc. Écol. Norm. Sup. 4ème série, tome 15 365-390 1982. | Numdam | MR | Zbl

[10] R. Hartshorne, A. Hirschowitz Courbes rationelles et Droites en position générale Ann. Inst. Fourier 35 (4) 39-58 1985. | Numdam | MR | Zbl

[11] A. Hirschowitz La Méthode d’Horace pour l’interpolation à plusieurs variables Manuscripta Math. 50 337-388 1985. | MR | Zbl

[12] M. Idà On the Homogeneous ideal of the generic union of lines in ${\mathbb{P}}^3$ J. für die reine und ang. Math. 403 67-153 1990. | MR | Zbl

[13] D. Mumford Lectures on Curves on an Algebraic Surface Annals of Math. Studies, No 59, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J. 1966. | MR | Zbl

[14] C. Okonek, M. Schneider, H. Spindler Vector bundles on complex projective spaces Birkhauser Boston 1980. | MR | Zbl

[15] O. Rahavandrainy Sur la résolution des fibrés instantons généraux Thèse - Université de Nice 1991.

[16] O. Rahavandrainy Résolution des fibrés instantons généraux C. R. Acad. Sci. Paris tome 325, Série I 189-192 1997 | MR | Zbl