Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction $q$-dzeta

Bézivin, Jean-Paul

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 17 (2008) no. 1, pp. 23-36.

Pour $q\in ℂ$, $\left|q\right|<1$, on définit la $q$-analogue de la fonction zeta de Riemann par les égalités ${\displaystyle {\zeta }_q\left(k\right)=\sum _{n\ge 1}{\sigma }_{k-1}\left(n\right)q^n=\sum _{n\ge 1}\frac{n^{k-1}{q}^n}{1-q^n}}$.

Dans [8], W. Zudilin énonce deux questions à propos de ces fonctions de $q$. La première concerne l’indépendance linéaire sur $ℂ\left(q\right)$ des fonctions ${\zeta }_q\left(k\right)$, pour $k\ge 1$, et la seconde l’indépendance algébrique sur $ℂ\left(q\right)$ des fonctions ${\zeta }_q\left(2\right),{\zeta }_q\left(4\right),{\zeta }_q\left(6\right)$, et des fonctions ${\zeta }_q(2k+1)$, $k\ge 0$. Dans [5], Y. Pupyrev répond positivement à la première question, et donne des résultats partiels pour la seconde.

Dans cet article, nous considérons la fonction ${\displaystyle L(x,y)=\sum _{n\ge 1}\frac{y^n{x}^n}{1-x^n}}$, et, avec ${\displaystyle \tau =y\frac{d}{dy}}$, les fonctions ${\displaystyle {\tau }^j\left(L\right)(x,y)=\sum _{n\ge 1}{n}^j\frac{y^n{x}^n}{1-x^n}}$. Pour des valeurs $a_k,k=1,...,s$, soumises à quelques conditions techniques, nous démontrons des résultats d’indépendance linéaire et algébrique pour les fonctions ${\displaystyle {\tau }^j\left(L\right)(x,a_k)}$.

For $q\in ℂ$, $\left|q\right|<1$, one extends the Riemann Zeta function in the following way: ${\displaystyle {\zeta }_q\left(k\right)=\sum _{n\ge 1}{\sigma }_{k-1}\left(n\right)q^n=\sum _{n\ge 1}\frac{n^{k-1}{q}^n}{1-q^n}}$.

In the paper [8], W. Zudilin has formulated two questions about these functions. The first one is about the linear independence over $ℂ\left(q\right)$ of the functions ${\zeta }_q\left(k\right)$, $k\ge 1$, and the second one about the algebraic independence over $ℂ\left(q\right)$ of ${\zeta }_q\left(2\right),{\zeta }_q\left(4\right),{\zeta }_q\left(6\right)$, and ${\zeta }_q(2k+1)$, $k\ge 0$.

In the paper [5], Y. Pupyrev has positively answered the first question, and has given partial results for the second.

In this paper, we consider the function ${\displaystyle L(x,y)=\sum _{n\ge 1}\frac{y^n{x}^n}{1-x^n}}$, and, with ${\displaystyle \tau =y\frac{d}{dy}}$, the functions ${\displaystyle {\tau }^j\left(L\right)(x,y)=\sum _{n\ge 1}{n}^j\frac{y^n{x}^n}{1-x^n}}$. For complex values $a_k,k=1,...,s$, satisfying some technical conditions, we show linear and algebraic independence results for the functions ${\displaystyle {\tau }^j\left(L\right)(x,a_k)}$.

[1] Bundschuh (P.) and Väänänen (K.).— Linear independence of $q$-analogues of certain classical constants, Results Math. 47, p. 33-44 (2005). | MR | Zbl

[2] Bundschuh (P.) and Zhou (P.).— Arithmetical results on certain multivariate power series. Bull London Math Soc, 38, n 2, p. 192-200 (2006). | MR | Zbl

[3] Hoang Ngo Minh, Petitot (M.).— Lyndon words, polylogarithm and Riemann’s zeta-function. Discrete Math, 217, no 1-3, p. 273-292 (2000). | Zbl

[4] Knopp (K.).— Uber Lambertsche Reihen. J. für die reine angewandte Math, 142, 4, p. 283-315 (1913).

[5] Pupyrev (Y.).— Linear and algebraic independence of $q$-zeta values. Mathematical notes, 78, no. 4, p. 563-568 (2005). | MR

[6] Shidlovskii (A.B.).— Transcendence and algebraic independence values of some $E$-functions. Moscow Univ Math Bull, 5, p. 44-59 (1961). | MR

[7] Ulanskii (E.A.).— Identities for generalized polylogarithm. Math Notes, 73, no 4, p. 571-581 (2003). | MR | Zbl

[8] Zudilin (W.).— Diophantine problems for $q$-values, Math. Notes 72, no. 5-6, p. 858-862 (2002). | MR | Zbl