Un théorème de Spitzer-Stone fort pour une matrice de Toeplitz à  symbole singulier défini par une classe de fonctions analytiques

Rambour, Philippe; Rinkel, Jean-Marc

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 16 (2007) no. 2, pp. 331-367.

Dans cet article nous donnons une formule pour les coefficients de l’inverse des matrices de Toeplitz respectivement de symboles $f\left(e^{i\theta }\right)=(1-cos\theta ){\left|f_1\left(e^{i\theta }\right)\right|}^2$ (cas singulier) et $|f_1\left(e^{i\theta }\right){|}^2$ (cas régulier) où $f_1$ est une fonction appartenant à  une classe de fonctions holomorphes sur un disque ouvert contenant le tore $𝕋$ et sans zéro sur $𝕋$. Un cas particulier défini par $f_1=\frac{Q}{P}$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes sans zéro sur $𝕋$ est traité. Dans le cas où le symbole est singulier, cette formule présente l’intérêt d’avoir un second ordre. Dans tous les cas elle est extrèmement précise puisque les restes sont de l’ordre $O(1/{\rho }^N)$, avec $1<\rho$. Cette formule nous permet de calculer des asymptotiques de la trace et de la somme des termes pour la matrice inverse.

This paper presents a computation of the inverse of the Toeplitz matrice with respectively the symbols $f\left(e^{i\theta }\right)=(1-cos\theta ){\left|f_1\left(e^{i\theta }\right)\right|}^2$ (singular case) or $|f_1\left(e^{i\theta }\right){|}^2$ (regular case), where $f_1$ belongs to a class of holomorphic functions on a open disk containing the torus $𝕋$, and without zero on $𝕋$. A particular case is given by $f_1=\frac{Q}{P}$, where $P$ and $Q$ are polynomials without zero on $𝕋$. For the singular case, this formula presents the interest to have a second order. In all the cases we have an extremely good precision since the order of the remaining term is $O(1/{\rho }^N)$, with $1<\rho$. From this result we derive for the inverse matrix two precise asymptotic expansions of the sum of the entries and of the trace.

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