Dans cet article, on montre que l’espace des groupes marqués est un sous-espace fermé d’un ensemble de Cantor dont la dimension de Hausdorff est infinie. On prouve que la dimension de Minkowski de cet espace est infinie en exhibant des sous-ensembles de groupes marqués à petite simplification dont les dimensions de Minkowski sont arbitrairement grandes. On donne une estimation des dimensions de Minkowski de sous-espaces de groupes à un relateur. On démontre enfin que les dimensions de Minkowski du sous-espace des groupes commutatifs marqués et d’un ensemble de Cantor défini par Grigorchuk sont nulles.
In this article we show that the space of marked groups is a closed subspace of a Cantor space whith infinite Hausdorff dimension. We prove that the Minkowski dimension of this space is infinite by exhibiting subsets of marked groups with small cancellation the dimension of which are arbitrarly large. We give estimates of the Minkowski dimensions of subsets of marked groups with one relator. Eventually, we prove that the Minkowski dimensions of the subspace of abelian marked groups and a Cantor space defined by Grigorchuk are zero.
@article{AFST_2007_6_16_1_107_0,
author = {Guyot, Luc},
title = {Estimations de dimensions de {Minkowski} dans l{\textquoteright}espace des groupes marqu\'es},
journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
pages = {107--124},
publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de math\'ematiques},
address = {Toulouse},
volume = {6e s{\'e}rie, 16},
number = {1},
year = {2007},
doi = {10.5802/afst.1141},
mrnumber = {2325594},
language = {fr},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1141/}
}
TY - JOUR AU - Guyot, Luc TI - Estimations de dimensions de Minkowski dans l’espace des groupes marqués JO - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques PY - 2007 SP - 107 EP - 124 VL - 16 IS - 1 PB - Université Paul Sabatier, Institut de mathématiques PP - Toulouse UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1141/ DO - 10.5802/afst.1141 LA - fr ID - AFST_2007_6_16_1_107_0 ER -
%0 Journal Article %A Guyot, Luc %T Estimations de dimensions de Minkowski dans l’espace des groupes marqués %J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques %D 2007 %P 107-124 %V 16 %N 1 %I Université Paul Sabatier, Institut de mathématiques %C Toulouse %U http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1141/ %R 10.5802/afst.1141 %G fr %F AFST_2007_6_16_1_107_0
Guyot, Luc. Estimations de dimensions de Minkowski dans l’espace des groupes marqués. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 16 (2007) no. 1, pp. 107-124. doi : 10.5802/afst.1141. http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1141/
[1] Arzhantseva (G. N.), Ol’shanskii (A. Yu.).— Generality of the class of groups in which subgroups with a lesser number of generators are free. (Russian) Mat. Zametki 59, No. 4, p. 489-496 (1996), 638 ; translation in Math. Notes 59, no. 3-4, p. 350-355 (1996). | MR | Zbl
[2] Champetier (C.).— L’espace des groupes de type fini, Topology 39, p. 657-680 (2000). | MR | Zbl
[3] Champetier (C.), Guirardel (V.).— Limit groups as limits of free groups. Israel J. Math. 146, p. 1-75 (2005). | MR | Zbl
[4] de la Harpe (P.).— Topics in geometric group theory, Chicago Lectures in Mathematics, The University of Chicago Press (2000). | MR | Zbl
[5] Falconer (K.).— Techniques in fractal geometry, John Wiley and sons (1997). | MR | Zbl
[6] Grigorchuk (R. I.).— Degrees of growth of finiteley generated groups and the theory of invariant means, Math USSR Iszvestiya 25 No. 2 (1985). | MR | Zbl
[7] Grigorchuk (R. I.).— An example of finitely presented amenable group not belonging to the class EG, Matematicheskiĭ Sbornik 189, p. 75-95 (1998). | MR | Zbl
[8] Gromov (M.).— Hyperbolic groups, Essays in Group Theory, ed. S. M. Gersten, MSRI series, Vol. 8, Springer-Verlag, p. 75-263 (1987). | MR | Zbl
[9] Lyndon (R.C.), Schupp (P.E.).— Combinatorial Group Theory, Springer (1977). | MR | Zbl
[10] Pertti (M.).— Geometry of sets and measures in euclidean spaces, fractals and rectifiability. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press (1995). | MR | Zbl
[11] Greendlinger (M.).— An analogue of a theorem of Magnus. Arch. Math 12, p. 94-96 (1961). | MR | Zbl
Cité par Sources :
