Specialization to the tangent cone and Whitney equisingularity

Giles Flores, Arturo

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 141 (2013) no. 2, pp. 299-342.

Soit $(X,0)$ un germe de singularité analytique complexe, réduit et équidimensionel tel que son cône tangent $(C_{X,0},0)$ est réduit. On montre que l’absence des cônes exceptionnels est une condition nécessaire et suffisante pour que la partie lisse ${𝔛}^0$ de la spécialisation sur le cône tangent $\varphi :𝔛\to ℂ$ satisfasse les conditions de Whitney le long l’axe des paramètres $Y$. Ce résultat est un premier pas vers la généralisation aux dimensions supérieures du résultat de Lê et Teissier pour les hypersurfaces de ${ℂ}^3$ qui établit la équisingularité à la Whitney de $X$ et son cône tangent sous ces conditions.

Let $(X,0)$ be a reduced, equidimensional germ of an analytic singularity with reduced tangent cone $(C_{X,0},0)$. We prove that the absence of exceptional cones is a necessary and sufficient condition for the smooth part ${𝔛}^0$ of the specialization to the tangent cone $\varphi :𝔛\to ℂ$ to satisfy Whitney’s conditions along the parameter axis $Y$. This result is a first step in generalizing to higher dimensions Lê and Teissier’s result for hypersurfaces of ${ℂ}^3$ which establishes the Whitney equisingularity of $X$ and its tangent cone under these conditions.

Classification : 14J17, 32S15
Keywords: equisingularity, Whitney conditions, specialization to the tangent cone
Mot clés : Équisingularité, conditions de Whitney, spécialisation sur le cône tangent

[1] T. Gaffney - « Integral closure of modules and Whitney equisingularity », Invent. Math. 107 (1992), p. 301-322. | MR

[2] -, « Aureoles and integral closure of modules », in Stratifications, singularities and differential equations, II (Marseille, 1990; Honolulu, HI, 1990), Travaux en Cours, vol. 55, Hermann, 1997, p. 55-62. | MR

[3] T. Gaffney & S. L. Kleiman - « Specialization of integral dependence for modules », Invent. Math. 137 (1999), p. 541-574. | MR

[4] M. Gerstenhaber - « On the deformation of rings and algebras. II », Ann. of Math. 84 (1966), p. 1-19. | MR

[5] G.-M. Greuel, C. Lossen & E. Shustin - Introduction to singularities and deformations, Springer Monographs in Math., Springer, 2007. | MR

[6] G.-M. Greuel & G. Pfister - A singular introduction to commutative algebra, Springer, 2007. | MR

[7] T. De Jong & G. Pfister - Local analytic geometry, Advanced Lectures in Mathematics, Friedr. Vieweg & Sohn, 2000. | MR

[8] L. Kaup & B. Kaup - Holomorphic functions of several variables, de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 3, Walter de Gruyter & Co., 1983. | MR

[9] M. Lejeune-Jalabert & B. Teissier - « Clôture intégrale des idéaux et équisingularité », Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 17 (2008), p. 781-859. | Numdam | MR

[10] V. Navarro Aznar - « Conditions de Whitney et sections planes », Invent. Math. 61 (1980), p. 199-225. | MR

[11] A. Nobile - « Some properties of the Nash blowing-up », Pacific J. Math. 60 (1975), p. 297-305. | MR

[12] C. Sabbah - « Quelques remarques sur la géométrie des espaces conormaux », Astérisque 130 (1985), p. 161-192. | Numdam | MR

[13] B. Teissier - « Cycles évanescents, sections planes et conditions de Whitney », Astérisque 7-8 (1973), p. 285-362. | MR

[14] L. D. ung Tráng - « Limites d'espaces tangents sur les surfaces », Nova Acta Leopoldina (N.F.) 52 (1981), p. 119-137. | MR

[15] L. D. ung Tráng & B. Teissier - « Sur la géométrie des surfaces complexes. I. Tangentes exceptionnelles », Amer. J. Math. 101 (1979), p. 420-452. | MR

[16] L. D. Tráng & B. Teissier - « Limites d'espaces tangents en géométrie analytique », Comment. Math. Helv. 63 (1988), p. 540-578. | MR

[17] H. Whitney - « Tangents to an analytic variety », Ann. of Math. 81 (1965), p. 496-549. | MR