Extension of Estermann's theorem to Euler products associated to a multivariate polynomial

Delabarre, Ludovic

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 141 (2013) no. 2, pp. 225-265.

Etant donné un polynôme de plusieurs variables $h\left(X_1,\cdots ,X_n\right)$ à coefficients entiers vérifiant une hypothèse de régularité analytique (et vérifiant $h\left(\mathbf{0}\right)=1$), on détermine le domaine maximal de méromorphie du produit eulérien ${\prod }_{p\mathrm{premier}}h\left(p^{-s_1},\cdots ,p^{-s_n}\right)$ et la frontière naturelle de méromorphie est décrite précisément lorsqu’elle existe. De cette façon on généralise un résultat célèbre de 1928 concernant les polynômes d’une variable due à Estermann. En guise d’application, on détermine la frontière naturelle de produits eulériens de plusieurs variables associés à une famille de variétés toriques.

Given a multivariate polynomial $h\left(X_1,\cdots ,X_n\right)$ with integral coefficients verifying an hypothesis of analytic regularity (and satisfying $h\left(\mathbf{0}\right)=1$), we determine the maximal domain of meromorphy of the Euler product ${\prod }_{p\mathrm{prime}}h\left(p^{-s_1},\cdots ,p^{-s_n}\right)$ and the natural boundary is precisely described when it exists. In this way we extend a well known result for one variable polynomials due to Estermann from 1928. As an application, we calculate the natural boundary of the multivariate Euler products associated to a family of toric varieties.

Classification : 11M32, 11M41, 32D15, 11N99, 14G05
Keywords: multivariables Euler products, meromorphic continuation, natural boundary, cyclotomic polynomial, rational point on a toric variety
Mot clés : produits eulériens de plusieurs variables, prolongement méromorphe, frontière naturelle, polynôme cyclotomique, point rationnel sur une variété torique

[1] S. S. Abhyankar - Local analytic geometry, Pure and Applied Mathematics, Vol. XIV, Academic Press. | MR

[2] G. Bhowmik, D. Essouabri & B. Lichtin - « Meromorphic continuation of multivariable euler products », Forum Math. 19, p. 1111-1139. | MR

[3] R. De La Bretèche - « Sur le nombre de points de hauteur bornée d'une certaine surface cubique singulière », Astérisque 251, p. 51-77, Nombre et répartition de points de hauteur bornée (Paris, 1996). | Numdam | MR

[4] A. Chenciner - Courbes algébriques planes, Publications Mathématiques de l'Université Paris VII, vol. 4, Université de Paris VII U.E.R. de Mathématiques.

[5] G. Dahlquist - « On the analytic continuation of eulerian products », Ark. Mat. 1, p. 533-554. | MR

[6] L. Delabarre - « On the domain of meromorphy of a multivariate Euler product of Igusa type », Forum Mathematicum, doi://10.1515/forum-2011-0092.

[7] T. Estermann - « On certain functions represented by dirichlet series », Proc. London Math. Soc. 27, p. 435-448. | MR

[8] N. Kurokawa - « On the meromorphy of euler products. i », Proc. London Math. Soc. 53, p. 1-47. | MR

[9] -, « On the meromorphy of euler products. ii », Proc. London Math. Soc. 53, p. 209-236. | MR

[10] N. Kurokawa & H. Ochiai - « A multivariable euler product of igusa type and its applications », J. Number Theory 129, p. 1919-1930. | MR

[11] C. Laurent-Thiébaut - Théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables, Savoirs Actuels, InterÉditions.

[12] B. Z. Moroz - « On a class of dirichlet series associated to the ring of representations of a weil group », Proc. London Math. Soc. 56, p. 209-228. | MR

[13] R. M. Range - « Extension phenomena in multidimensional complex analysis: correction of the historical record », Math. Intelligencer 24, p. 4-12. | MR

[14] M. Du Sautoy & F. Grunewald - « Zeta functions of groups: zeros and friendly ghosts », Amer. J. Math. 124, p. 1-48. | MR

[15] M. Du Sautoy & L. Woodward - Zeta functions of groups and rings, Lecture Notes in Math., vol. 1925, Springer. | MR

[16] P. Swinnerton-Dyer & R. De La Bretèche - « Fonction zêta des hauteurs associée à une certaine surface cubique », Bull. Soc. Math. France 135, p. 65-92.