Sur les variétés $X\subset {\mathbb{P}}^N$ telles que par $n$ points passe une courbe de $X$ de degré donné

Pirio, Luc; Trépreau, Jean-Marie

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 141 (2013) no. 1, pp. 131-195.

Soit $r\ge 1$, $n\ge 2$, et $q\ge n-1$ des entiers. On introduit la classe ${𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$ des sous-variétés $X$ de dimension $r+1$ d’un espace projectif, telles que pour $(x_1,...,x_n)\in X^n$ générique, il existe une courbe rationnelle normale de degré $q$, contenue dans $X$ et passant par les points $x_1,...,x_n$ ; $X$ engendre un espace projectif dont la dimension, pour $r$, $n$ et $q$ donnés, est la plus grande possible compte tenu de la première propriété. Sous l’hypothèse $q\ne 2n-3$, on détermine toutes les variétés $X$ appartenant à la classe ${𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$. On montre en particulier qu’il existe une variété $X_0\subset {\mathbb{P}}^{r+n-1}$ de degré minimal $n-1$ et une application birationnelle $X_0⤏X$ qui envoie une section de $X_0$ par un ${\mathbb{P}}^{n-1}\subset {\mathbb{P}}^{r+n-1}$ générique sur une courbe rationnelle normale de degré $q$. Sans hypothèse sur $q$, on définit sur l’espace des courbes rationnelles normales de degré $q$ contenues dans la variété $X\in {𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$ une structure quasi-grassmannienne. La variété $X$ est de la forme précédente si et seulement si cette structure est localement isomorphe à la structure standard, celle de la grassmannienne des $(n-1)$-plans de ${\mathbb{P}}^{r+n-1}$. Le problème de la détermination des variétés $X\in {𝒳}_{r+1,n}(2n-3)$ reste ouvert. Nous donnons quelques exemples de variétés des classes ${𝒳}_{r+1,3}\left(3\right)$ et ${𝒳}_{r+1,4}\left(5\right)$ qui ne sont pas de la forme qu’on vient de décrire. Nous avons été conduits à l’étude des variétés $X\in {𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$ par nos travaux sur le problème de l’algébrisation des $d$-tissus, de codimension $r$ sur une variété de dimension $rn$, qui sont de rang maximal. Ce problème, considéré d’abord, dans cette généralité, par Chern et Griffiths [3]-[4], a été récemment résolu pour $r=1$ dans Trépreau [22]. Le cas général fait l’objet d’un article en cours de préparation, qui utilise le résultat principal obtenu ici, voir Pirio-Trépreau [19].

For given integers $r\ge 1$, $n\ge 2$ and $q\ge n-1$, we introduce the class ${𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$ of $(r+1)$-dimensional subvarieties $X$ of a projective space, such that: any generic set of $n$ points of $X$ is contained in a rational normal curve on $X$, of degree $q$; $X$ spans a projective space the dimension of which is the biggest possible, considering the first property. Our main result is the following. Theorem. - If $q\ne 2n-3$ and $X\in {𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$, there exists a variety $X_0$ in ${\mathbb{P}}^{r+n-1}$, of dimension $r+1$ and minimal degree $n-1$, and a birational map $X_0⤏X$, such that a section of $X_0$ by a generic ${\mathbb{P}}^{n-1}$ is mapped onto a rational normal curve of degree $q$. Without any assumption on $q$, we say that a variety $X\in {𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$ is standard if it satisfies the conclusion of the preceding theorem. Building upon the classification of varieties of minimal degree, which is well-known, we give a complete classification of standard varieties in each class ${𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$. The existence and classification of non-standard varieties $X\in {𝒳}_{r+1,n}(2n-3)$, for $r\ge 2$ and $n\ge 3$, remains an open problem. However, though the condition $q\ne 2n-3$ in the theorem above may not be sharp, we give examples of non-standard varieties in ${𝒳}_{r+1,3}\left(3\right)$ and in ${𝒳}_{r+1,4}\left(5\right)$. In the general case, if $X\in {𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$, we show that the space of rational normal curves of degree $q$ on $X$ carries a natural quasi-grassmannian structure. Our second main result is: Theorem. - A variety $X\in {𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$ is standard if and only if the associated quasi-grassmannian structure is integrable, that is locally isomorphic to the natural stucture of the grassmannian of $(n-1)$-planes in ${\mathbb{P}}^{r+n-1}$. In a forthcoming paper we shall apply our results to the so-called Problem of algebraization of webs of maximal rank, giving in most cases a solution to a question first raised, in this generality, by Chern and Griffiths.

Classification : 14N, 14M22, 14J40, 53A, 53A40, 53C10
Mot clés : variété projective, variété rationnellement connexe, courbe rationnelle normale, variété de degré minimal, structure quasi-grassmannienne
Keywords: projective varieties $X\subset \mathbb {P}^N$ such that any generic set of $n$ points of $X$ is contained in a rational curve on $X$, of a given degree

[1] D. Barlet - « Le faisceau ${\omega }_X^{·}$ sur un espace analytique $X$ de dimension pure », in Fonctions de plusieurs variables complexes, III (Sém. François Norguet, 1975-1977), Lecture Notes in Math., vol. 670, Springer, 1978, p. 187-204. | MR | Zbl

[2] E. Bompiani - « Proprietà differenziali carracteristiche di enti algebrici », Rom. Acc. L. Mem. 26 (1921), p. 452-474. | JFM

[3] S. S. Chern & P. Griffiths - « Abel's theorem and webs », Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 80 (1978), p. 13-110. | EuDML | MR | Zbl

[4] S. S. Chern & P. A. Griffiths - « An inequality for the rank of a web and webs of maximum rank », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 5 (1978), p. 539-557. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[5] O. Debarre - Higher-dimensional algebraic geometry, Universitext, Springer, 2001. | MR | Zbl

[6] F. Enriques - « Una questione sulla linearità dei sistemi di curve appartenenti ad una superficie algebrica », Rom. Acc. L. Rend. 5 (1893), p. 3-8. | JFM

[7] W. Fulton - Intersection theory, Ergebn. Math. Grenzg., vol. 2, Springer, 1998. | MR | Zbl

[8] S. G. Gindikin - « Integral geometry, twistors and generalised conformal structures », J. Geom. Phys. 5 (1988), p. 19-35. | MR | Zbl

[9] V. V. Goldberg - Theory of multicodimensional $(n+1)$-webs, Mathematics and its Applications, vol. 44, Kluwer Academic Publishers Group, 1988. | MR | Zbl

[10] P. A. Griffiths - « Variations on a theorem of Abel », Invent. Math. 35 (1976), p. 321-390. | MR

[11] T. Hangan - « Sur l'intégrabilité des structures tangentes produits tensoriels réels », Ann. Mat. Pura Appl. 126 (1980), p. 149-185. | MR

[12] J. Harris - « A bound on the geometric genus of projective varieties », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 8 (1981), p. 35-68. | Numdam | MR

[13] R. Hartshorne - Algebraic geometry, Graduate Texts in Math., vol. 52, Springer, 1977. | MR

[14] G. Henkin & M. Passare - « Abelian differentials on singular varieties and variations on a theorem of Lie-Griffiths », Invent. Math. 135 (1999), p. 297-328. | MR

[15] P. Ionescu - « Birational geometry of rationally connected manifolds via quasi-lines », in Projective varieties with unexpected properties, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2005, p. 317-335. | MR

[16] J. Kollár - Rational curves on algebraic varieties, Ergebn. Math. Grenzg., vol. 32, Springer, 1996.

[17] Y. Machida & H. Sato - « Twistor theory of manifolds with Grassmannian structures », Nagoya Math. J. 160 (2000), p. 17-102. | MR

[18] D. Mumford - Algebraic geometry. I, Grundl. Math. Wiss., vol. 221, Springer, 1976. | MR

[19] L. Pirio & J.-M. Trépreau - « Sur l'algébrisation des tissus de rang maximal », en préparation.

[20] F. Russo - « Communication à L. Pirio », 2008.

[21] S. Sternberg - Lectures on differential geometry, Prentice-Hall Inc., 1964. | MR

[22] J.-M. Trépreau - « Algébrisation des tissus de codimension 1. La généralisation d'un théorème de Bol », in Inspired by S. S. Chern, Nankai Tracts Math., vol. 11, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2006, p. 399-433. | MR

[23] -, « Une nouvelle caractérisation des variétés de Veronese », preprint arXiv:1012.1008.