Un complexe de Koszul de modules instables et cohomotopie d'un spectre de Thom

Dang Ho Hai, Nguyen

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 140 (2012) no. 2, pp. 257-308.

Dans [8], les auteurs ont construit une résolution injective minimale d'un module instable dans la catégorie des modules instables modulo $2$. A partir de cette résolution, un résultat de type conjecture de Segal a été obtenu pour un certain spectre de Thom. Le but de cet article est de refaire ces résultats pour les premiers impairs. Etant donné un premier impair $p$, on construit dans ce travail un complexe de Koszul dans la catégorie des modules instables sur l’algèbre de Steenrod modulo $p$. Une résolution injective d’un module instable intéressant est obtenue comme cas particulier de ce complexe de Koszul. Ce module instable est la cohomologie modulo $p$ d’un spectre de Thom qui apparaît (à $p$-complétion près) comme l’un des fibres homotopiques non contractiles dans la tour de Goodwillie du foncteur identité évaluée en la sphère $S^3$. Comme application de cette résolution injective, on calcule quelques groupes de cohomotopie de ce spectre à l’aide du travail de S. Zarati [24] sur les foncteurs dérivés du foncteur de déstabilisation.

We constructed in [8] a minimal injective resolution of an unstable module over the modulo $2$ Steenrod algebra. From this resolution, a Segal conjecture-type result was obtained for a certain Thom spectrum. In this paper we propose to study similar problems modulo odd primes. Given $p$ an odd prime, we construct in this work a Koszul complex in the category of unstable modules over the mod $p$ Steenrod algebra. An injective resolution of an interesting unstable module is obtained as a special case of this Koszul complex. This unstable module is the mod $p$ cohomology of a Thom spectrum used in the description of the layers of the Goodwillie tower of the identity functor evaluated on the sphere $S^3$. As an application of the injective resolution, we compute some cohomotopy groups of the Thom spectrum using work of S. Zarati [24] on the derived functors of the destabilisation functor.

Classification : 55S10, 55Q55, 16S37
Mot clés : complexe de Koszul, module instable, foncteur de déstabilisation
Keywords: Koszul complex, unstable module, destabilisation functor

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