The 4-string braid group $B_4$ has property RD and exponential mesoscopic rank

Barré, Sylvain; Pichot, Mikaël

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 4, pp. 479-502.

Nous montrons que le groupe de tresses à 4 brins $B_4$, son quotient central $B_4/\langle z\rangle$, ainsi que le groupe d’automorphismes $Aut\left(F_2\right)$ du groupe libre à 2 générateurs, possèdent la proprété RD de décroissance rapide de Haagerup-Jolissaint. Nous montrons également que le groupe de tresses $B_4$ est un groupe (de dimension 3) de rang intermédiaire mésoscopique. Plus précisément, nous montrons que les trois groupes précédents sont de rang mésoscopique exponentiel, c’est-à-dire qu’ils contiennent un nombre exponentiel de boules plates qui ne sont pas contenues dans des plats.

We prove that the braid group $B_4$ on 4 strings, its central quotient $B_4/\langle z\rangle$, and the automorphism group $Aut\left(F_2\right)$ of the free group $F_2$ on 2 generators, have the property RD of Haagerup-Jolissaint. We also prove that the braid group $B_4$ is a group of intermediate mesoscopic rank (of dimension 3). More precisely, we show that the above three groups have exponential mesoscopic rank, i.e., that they contain exponentially many large flat balls which are not included in flats.

Classification : 20F65
Keywords: braid groups, property RD, CAT(0) spaces
Mot clés : groupes de tresses, propriété RD, espaces CAT(0)

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