[Un théorème sur les corps de fonctions et applications]
Nous démontrons une minoration pour le nombre de zéros distincts d’une somme , étant deux fonctions rationnelles, en fonction du degré de et ; cette minoration est forte si le nombre de zéros et poles de est suffisament petit par rapport à leur degré. Dans certains cas, on obtient une amélioration de l’inégalité de Voloch et Brownawell-Masser, qui entraîne des nouveaux résultats de finitude sur les équations diophantiennes sur les corps de fonctions. Par exemple, nous démontrons que la surface de type Fermat définie par l’équation ne contient qu’un nombre fini de courbes rationnelles ou elliptiques, dès que et . Ce résultat constitue un cas particulier d’une célèbre conjecture de Bogomolov.
We provide a lower bound for the number of distinct zeros of a sum for two rational functions , in term of the degree of , which is sharp whenever have few distinct zeros and poles compared to their degree. This sharpens the “-theorem” of Brownawell-Masser and Voloch in some cases which are sufficient to obtain new finiteness results on diophantine equations over function fields. For instance, we show that the Fermat-type surface contains only finitely many rational or elliptic curves, provided and ; this provides special cases of a known conjecture of Bogomolov.
Mot clés : conjecture abc, corps de fonctions, courbes sur une surface algébrique, S-unités
@article{BSMF_2011__139_4_437_0,
author = {Corvaja, Pietro and Zannier, Umberto},
title = {An $abcd$ theorem over function fields and applications},
journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
pages = {437--454},
publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
volume = {139},
number = {4},
year = {2011},
doi = {10.24033/bsmf.2613},
mrnumber = {2869299},
zbl = {1252.11031},
language = {en},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2613/}
}
TY - JOUR AU - Corvaja, Pietro AU - Zannier, Umberto TI - An $abcd$ theorem over function fields and applications JO - Bulletin de la Société Mathématique de France PY - 2011 SP - 437 EP - 454 VL - 139 IS - 4 PB - Société mathématique de France UR - http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2613/ DO - 10.24033/bsmf.2613 LA - en ID - BSMF_2011__139_4_437_0 ER -
%0 Journal Article %A Corvaja, Pietro %A Zannier, Umberto %T An $abcd$ theorem over function fields and applications %J Bulletin de la Société Mathématique de France %D 2011 %P 437-454 %V 139 %N 4 %I Société mathématique de France %U http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2613/ %R 10.24033/bsmf.2613 %G en %F BSMF_2011__139_4_437_0
Corvaja, Pietro; Zannier, Umberto. An $abcd$ theorem over function fields and applications. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 4, pp. 437-454. doi : 10.24033/bsmf.2613. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2613/
[1] , & - Compact complex surfaces, Ergebn. Math. Grenzg., vol. 4, Springer, 1984. | MR | Zbl
[2] - « Surfaces algébriques complexes », Astérisque 54 (1978). | Numdam | Zbl
[3] - « Holomorphic tensors and vector bundles on projective manifolds », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 42 (1978), p. 1227-1287, 1439. | MR | Zbl
[4] & - Heights in Diophantine geometry, New Mathematical Monographs, vol. 4, Cambridge Univ. Press, 2006. | MR | Zbl
[5] & - « Vanishing sums in function fields », Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 100 (1986), p. 427-434. | MR | Zbl
[6] & - « Some cases of Vojta's conjecture on integral points over function fields », J. Algebraic Geom. 17 (2008), p. 295-333. Addendum in Asian Journal of Math., 14 (2010), p. 581-584. | MR | Zbl
[7] - Higher-dimensional algebraic geometry, Universitext, Springer, 2001. | MR | Zbl
[8] , & - « A polynomial variant of a problem of Diophantus for pure powers », Int. J. Number Theory 4 (2008), p. 57-71. | MR | Zbl
[9] - « Some remarks on the -unit equation in function fields », Acta Arith. 64 (1993), p. 87-98. | MR | Zbl
Cité par Sources :
